Una sola formula copre la sfera, l'uovo e il pianeta

Allungare un asse allunga il volume nella stessa proporzione

Poiché i tre semiassi si moltiplicano, ciascuno entra linearmente nella risposta: rendere una forma lunga la metà in una direzione dimezza il volume, e farlo in tutte e tre le direzioni lo divide per otto. È una relazione più dolce della legge del cubo che governa la scala di un oggetto intero, ed è per questo che l'ellissoide è il modello naturale non appena qualcosa è schiacciato in una sola direzione — un globulo rosso, una lente, un pianeta schiacciato. Significa anche che i tre numeri si riordinano liberamente: 5, 3, 4 e 3, 4, 5 descrivono forme orientate diversamente con volumi identici, il che a volte serve a verificare che un dato non sia finito nella casella sbagliata.

Perché un pianeta non è una sfera

La rotazione scaglia materia verso l'esterno all'equatore e non ai poli, quindi ogni corpo fluido in rotazione si assesta come ellissoide schiacciato. Lo schiacciamento della Terra è piccolo — circa una parte su 298, ossia ventun chilometri di differenza fra i due raggi — e basta a contare per la navigazione, per le orbite dei satelliti e per la definizione dei sistemi di coordinate che ogni mappa usa, costruiti su un ellissoide di riferimento e non su una sfera. Giove, che ruota in meno di dieci ore, appare visibilmente schiacciato in un piccolo telescopio. La regola è generale: più veloce la rotazione e meno rigido il corpo, più lontano dalla sfera si assesta.

Domande frequenti

L'area della superficie è altrettanto semplice?

Neanche lontanamente. Il volume ha una formula elementare esatta e l'area di un ellissoide generale no — richiede integrali ellittici, e le cifre che si citano vengono da approssimazioni e non da un'espressione esatta. L'area data dallo strumento è una di quelle approssimazioni, esatta entro una frazione di punto percentuale per forme non estremamente allungate: abbastanza per qualsiasi uso pratico, non per darla a cinque cifre. La sfera è il caso particolare in cui tutto viene pulito, ed è una delle ragioni per cui tanta fisica si fa sulle sfere.

Come misuro i semiassi di un oggetto reale?

Prendi le tre larghezze maggiori perpendicolari fra loro e dimezza ciascuna. Un calibro lo fa bene; un metro a nastro no, perché segue la superficie invece di attraversarla, e la differenza su un oggetto arrotondato è proprio l'errore che si voleva evitare. Il risultato vale solo quanto l'ipotesi che l'oggetto sia davvero un ellissoide — un uovo visibilmente non lo è, essendo più panciuto a un'estremità, quindi trattarlo come forma simmetrica sovrastima leggermente il volume. Quando l'esattezza conta più della comodità, spostare acqua misura il volume direttamente e salta tutta la geometria.