Eine Formel deckt Kugel, Ei und Planet ab

Eine Achse zu strecken streckt das Volumen im gleichen Verhältnis

Weil sich die drei Halbachsen multiplizieren, geht jede linear in die Antwort ein: eine Form in einer Richtung halb so lang zu machen halbiert das Volumen, in allen drei Richtungen teilt es durch acht. Das ist ein freundlicherer Zusammenhang als das kubische Gesetz beim Skalieren eines ganzen Körpers, und deshalb ist das Ellipsoid das natürliche Modell, sobald etwas nur in einer Richtung gestaucht ist — ein rotes Blutkörperchen, eine Linse, ein abgeplatteter Planet. Es heißt auch, dass sich die drei Zahlen frei vertauschen lassen: 5, 3, 4 und 3, 4, 5 beschreiben anders orientierte Formen mit gleichem Volumen — gelegentlich eine nützliche Probe, ob ein Wert im falschen Feld gelandet ist.

Warum ein Planet keine Kugel ist

Die Rotation schleudert Material am Äquator nach außen und an den Polen nicht; jeder rotierende flüssige Körper setzt sich daher als abgeplattetes Ellipsoid. Die Abplattung der Erde ist klein — etwa ein 298stel, also einundzwanzig Kilometer Unterschied zwischen beiden Radien — und reicht doch, um für Navigation, Satellitenbahnen und die Definition der Koordinatensysteme jeder Karte zu zählen, die auf einem Referenzellipsoid und nicht auf einer Kugel beruhen. Jupiter, der sich in unter zehn Stunden dreht, ist schon im kleinen Fernrohr sichtbar gestaucht. Die Regel ist allgemein: je schneller die Drehung und je weniger starr der Körper, desto weiter entfernt er sich von der Kugel.

Häufige Fragen

Ist die Oberfläche ebenso einfach?

Nicht im Entferntesten. Das Volumen hat eine exakte elementare Formel, die Oberfläche eines allgemeinen Ellipsoids nicht — sie verlangt elliptische Integrale, und die zitierten Zahlen stammen aus Näherungen, nicht aus einem exakten Ausdruck. Die vom Werkzeug ausgegebene Fläche ist eine dieser Näherungen, auf Bruchteile eines Prozents genau für nicht extrem gestreckte Formen: genug für jeden praktischen Zweck, nicht genug für fünf Stellen. Die Kugel ist der Sonderfall, in dem alles sauber aufgeht — einer von mehreren Gründen, warum so viel Physik auf Kugeln betrieben wird.

Wie messe ich die Halbachsen eines realen Körpers?

Nimm die drei größten, zueinander rechtwinkligen Breiten und halbiere jede. Ein Messschieber macht das gut, ein Maßband nicht, denn es folgt der Oberfläche, statt sie zu durchqueren, und der Unterschied an einem gerundeten Körper ist genau der Fehler, den man vermeiden wollte. Das Ergebnis taugt nur so viel wie die Annahme, dass der Körper wirklich ein Ellipsoid ist — ein Ei ist sichtbar keines, es ist an einem Ende dicker, es als symmetrische Form zu behandeln überschätzt das Volumen leicht. Zählt Genauigkeit mehr als Bequemlichkeit, misst Wasserverdrängung das Volumen direkt und überspringt die ganze Geometrie.