355/113 è buono perché il termine successivo è 292

La sezione aurea è il numero più difficile da approssimare

Se i termini grandi significano buone approssimazioni, il numero senza alcun termine grande dev'essere il caso peggiore — e quel numero è la sezione aurea, il cui sviluppo vale [1; 1, 1, 1, 1, …] all'infinito. Le sue convergenti sono rapporti di numeri di Fibonacci consecutivi, 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, e ciascuna migliora la precedente del margine più piccolo possibile. Non è una curiosità: un girasole che dispone i semi a un angolo legato alla sezione aurea non allinea mai due semi successivi, proprio perché nessuna frazione semplice approssima bene quell'angolo. Essere mal approssimabile è qui la proprietà utile.

Uno schema periodico segnala un irrazionale di un tipo preciso

La radice quadrata di due si sviluppa come [1; 2, 2, 2, 2, …], ripetendo un solo termine all'infinito, e ogni radice quadrata di un intero non quadrato si comporta così — lo schema finisce per ciclare. È un teorema, e vale nei due sensi: una frazione continua i cui termini diventano periodici è sempre la radice di un'equazione di secondo grado a coefficienti interi, e una che non si assesta mai in uno schema è altra cosa. Lo sviluppo di π non ha schemi che qualcuno abbia trovato, il che concorda con ciò che se ne sa. Il caso finito è ancora più semplice: uno sviluppo che si ferma è un razionale, e che 415/93 si fermi dopo quattro termini è tutto il contenuto di quella frase.

Domande frequenti

Perché 22/7 è così famoso se 355/113 è assai meglio?

Perché è abbastanza corto da ricordarsi e abbastanza esatto per quasi tutto ciò che se ne faceva. 22/7 sbaglia di quattro centesimi di punto percentuale, invisibile in qualsiasi misura presa con un righello e sufficiente per l'aritmetica d'officina; 355/113 sbaglia di meno di un decimilionesimo, di cui nessuno ha bisogno a meno di portare il conto a molte cifre. Le convergenti formano una scala su cui la precisione si scambia con la memorabilità, e 22/7 occupa il piolo dove il baratto è più favorevole al calcolo mentale. Dove serve più precisione, di norma c'è anche una calcolatrice.

Dove si usano in pratica le frazioni continue?

Ovunque un rapporto debba essere costruito con oggetti interi. Un treno di ingranaggi approssima un rapporto di velocità arbitrario con numeri interi di denti, e le convergenti danno le ruote più piccole che ci vanno abbastanza vicino; le regole di calendario approssimano la durata dell'anno con giorni interi e anni bisestili; i temperamenti musicali approssimano un'ottava con un numero intero di gradi. La stessa meccanica compare anche dentro gli algoritmi di riduzione delle frazioni e di ricostruzione di un razionale da un decimale, che è ciò che permette a un sistema di algebra di riconoscere che 0,142857142857 è un settimo e non un lungo decimale.