Tre imbianchini impiegano dodici giorni; cinque non ne impiegano venti

Alcune relazioni non sono né l'una né l'altra

La regola del tre richiede che le due grandezze siano legate da una sola moltiplicazione, e nulla che scali in più di una dimensione lo è. Una torta da 20 cm per otto non significa che una da 30 cm ne serva dodici: la superficie cresce col quadrato del diametro, quindi il rapporto è (30 ÷ 20)² = 2,25 e la risposta è diciotto. La stessa trappola attende la vernice di una parete più grande con proporzioni diverse, il filo di una bobina più larga o il tessuto di un cartamodello ingrandito. Prima di incrociare, chiediti se raddoppiare l'ingresso raddoppi davvero l'uscita — se la quadruplica, la regola del tre sbaglierà di un fattore due.

Anche la versione diretta ha un tetto

La proporzionalità è un'ipotesi valida su un intervallo, non una legge. Cavo a 4 al metro fa 20 per cinque metri e probabilmente non 20.000 per cinquemila, perché a quella quantità il prezzo si negozia; un lavoro che cinque imbianchini chiudono in 7,2 giorni non si chiude in mezza giornata con settantadue imbianchini, perché non ci stanno tutti davanti al muro. Ogni risposta proporzionale porta un intervallo di validità non scritto, e le rotture avvengono agli estremi — a quantità molto piccole, dove domina un costo fisso, e a quelle molto grandi, dove qualcosa di fisico o commerciale smette di scalare.

Domande frequenti

Come distinguo in fretta diretto da inverso?

Chiediti che cosa resta costante. In una relazione diretta è il rapporto: 4 al metro resta 4 al metro per quanto cavo tu compri. In una inversa è il prodotto: imbianchini × giorni resta 36 per quanti imbianchini si presentino. Nominare la costante richiede un secondo e risolve la questione ogni volta, e dice anche cosa annotare — trentasei giorni-uomo è un fatto sul lavoro che sopravvive a ogni cambio di squadra, mentre «dodici giorni» è solo un fatto su una squadra particolare.

Perché la risposta viene 7,2 giorni?

Perché l'aritmetica è continua e il calendario no. Sette virgola due giorni sono sette giornate piene più un quinto di un'altra, in pratica otto giorni lavorativi — e arrotondare a sette lascerebbe l'ultimo quinto del lavoro incompiuto. Ogni quantità che si compra, si prenota o si dota in unità intere va arrotondata per eccesso dopo il passo proporzionale, e la frazione così cancellata merita di restare in vista: su un cantiere lungo, un quinto di giornata perso ogni settimana fa un giorno al mese.