Die Abwicklung eines Kegels ist ein Sektor, kein Kreis

Warum der Winkel 360 mal Radius durch Mantellinie ist

Der Grundkreis des Kegels muss beim Aufrollen der Abwicklung zum Außenbogen des Sektors werden, beide Längen sind also gleich. Der Grundumfang ist 2πr. Der Bogen eines Sektors mit Radius s und Winkel θ ist 2πs mal θ durch 360. Setzt man gleich, kürzt sich alles bis auf θ = 360 r ÷ s. Diese eine Zeile ist die ganze Konstruktion — und deshalb hängt der Sektorwinkel nur vom Verhältnis Radius zu Mantellinie ab und gar nicht von der Größe des Kegels.

Zwei Grenzfälle folgen unmittelbar. Ein sehr flacher Kegel hat eine Mantellinie kaum länger als seinen Radius: das Verhältnis geht gegen eins, der Winkel gegen 360 Grad — die Abwicklung wird zur Scheibe mit fehlendem Splitter, bei zehn Millimetern Höhe 353 Grad. Ein sehr hoher Kegel hat eine Mantellinie weit länger als seinen Radius: das Verhältnis geht gegen null und der Sektor verengt sich zur Spitze — 44,7 Grad bei 400 mm Höhe. Alles dazwischen überrascht nicht mehr, sobald man die Formel hat.

Ein Kegelstumpf hat eine Spitze, die er nie erreicht

Die Abwicklung eines Kegelstumpfs wird von der Spitze des vollständigen Kegels aus gezeichnet, aus dem er geschnitten wurde, obwohl diese Spitze am Objekt nirgends existiert. Deshalb ist der Außenradius der Stumpfabwicklung größer als seine Mantellinie: beim 50/20-mm-Stumpf über 80 mm beträgt die Mantellinie 85,44 mm, der Außenradius aber 142,40 — die zusätzlichen 56,96 mm sind das weggeschnittene Stück und werden zum Innenradius des Ringsektors.

Die Folge erwischt Lampenschirmbauer. Nähert sich der obere Radius dem unteren, entweicht die gedachte Spitze ins Unendliche — und der Abwicklungsradius mit ihr. Bei 100 mm unterem Radius und 250 mm Höhe beträgt der Abwicklungsradius 269 mm beim Vollkegel, 633 mm bei 60 mm oben, 1254 mm bei 80, 2502 mm bei 90 und 25 Meter bei 99. Ein Schirm, der in eine Hand passt, verlangt einen Zirkel, den es nicht zu kaufen gibt.

Wie man einen Zwei-Meter-Bogen auf dem Küchentisch zieht

Der Abwicklungsradius ist riesig, die Abwicklung selbst nicht. Nimm den Lampenschirm: 200 mm unten, 140 oben, 250 hoch. Seine Mantellinie misst 251,8 mm, sein äußerer Abwicklungsradius 839 mm, sein Sektor nur 42,9 Grad. Dieser Sektor ist ein Streifen von 252 mm Breite — der Differenz von Außen- und Innenradius — und 628 mm Länge entlang des Außenbogens. Er passt auf einen Bogen von 30 mal 70 Zentimetern, obwohl der Kreis, zu dem er gehört, 1,68 Meter misst.

Zeichne also nicht den Kreis. Befestige eine Schnur von 839 mm an einem Punkt am Boden, oder nimm eine Latte mit zwei Löchern bei 839 und 587 Millimetern, und schwenke nur die dreiundvierzig Grad, die du brauchst. Oder lass den Bogen ganz weg: trage die Länge des Außenbogens an einem biegsamen Lineal auf der Kurve ab und verbinde die Punkte — genau das tut die Leinwand des Werkzeugs, und genau das tut eine Werkstatt mit einer Reißlatte. Die Geometrie stimmt so wie so; nur das Zeichenverfahren muss praktikabel sein.

Häufige Fragen

Wie viel Material verbraucht ein Kegel?

Die Mantelfläche ist π mal Radius mal Mantellinie beim Vollkegel und π mal Summe beider Radien mal Mantellinie beim Stumpf. Der 50-mm-Kegel mit 80 mm Höhe braucht 148,2 cm²; der 50/20-mm-Stumpf bei gleicher Höhe 187,9 — mehr Material für weniger Volumen, was überrascht, bis man merkt, dass der Stumpf über die ganze Höhe breiter ist. Rechne an einer geraden Kante eine Nahtzugabe dazu und bei einem Lampenschirm einen Umschlag an beiden Bögen.

Bekomme ich die Abwicklung, wenn ich nur die Mantellinie kenne?

Ja, und oft ist das sogar das natürlichere Maß an einem vorhandenen Gegenstand — ein Bandmaß an der schrägen Seite entlang gibt die Mantellinie direkt. Das Werkzeug fragt nach der Höhe, weil eine Zeichnung meist die angibt, doch beide sind über Pythagoras austauschbar: Höhe = √(Mantellinie² − Radius²) beim Vollkegel und √(Mantellinie² − (r₁ − r₂)²) beim Stumpf. Miss, was du genau messen kannst, und leite das andere ab.

Warum schließt mein gerollter Kegel nicht genau?

Fast immer wegen der Materialdicke. Die Formel beschreibt eine Fläche ohne Dicke, liefert also die Abwicklung der Mittelfläche; rollt man ein 2 mm dickes Blech, legt die Außenseite einen längeren Weg zurück als die Innenseite, was sich an der Naht als Überlappung oder Spalt zeigt. Im Blechbau rechnet man deshalb auf der neutralen Faser — der halben Dicke — und bei Karton oder Stoff schluckt ein Millimeter Anpassung an der Naht den Rest. Auf die Mittelfläche schneiden und eine Überlappnaht statt einer Stumpfnaht vorsehen ist die praktische Antwort.