Redakteurin Wissenschaft & Bildung bei OneKitly
Erklärungen zu Mathematik, Physik und Statistik
Lena bringt Mathematik, Physik und Statistik zum Klicken. Sie schreibt klare Erklärungen, die Lehrbuchformeln mit echten Problemen verbinden.
Lena nennt die Formel, woher sie kommt und wo sie aufhört zu gelten. Jede Erklärung enthält ein durchgerechnetes Beispiel, das man von Hand nachprüfen kann, und jede Näherung sagt, was sie kostet — welche Annahme sie trifft und in welchem Bereich sie trägt.
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Ratgeber, die unter diesem Namen in jedem Bereich erschienen sind. Jeder Link öffnet den ganzen Bereich, über alle Autorinnen und Autoren hinweg.
· 3 Min. Lesezeit
6.220 M⁻¹cm⁻¹ bei 100 µM über 1 cm ergeben A = 0,622, und 23,9 % des Lichts treten aus. Verdopple die Schichtdicke, und A verdoppelt sich auf 1,244 — die Skala ist logarithmisch, und dort bricht sie.
· 3 Min. Lesezeit
24,80 mL Maßlösung zu 0,1 M auf 25,00 mL Probe ergeben 0,0992 M — oder 0,0496 M, wenn die Probe zwei Protonen abgibt. Die Stöchiometrie wird eingetippt, nicht gemessen.
· 3 Min. Lesezeit
Zehn Gegenstände in drei Fächern erzwingen vier in einem davon. 367 Menschen erzwingen einen gemeinsamen Geburtstag. Keine der Aussagen sagt, welches Fach oder welches Paar.
· 6 Min. Lesezeit
Ein Hochwasser und das Mondintervall von 12 h 25 min liefern dir tagelang jedes Hoch- und Niedrigwasser. Die Zwölftelregel sagt dann, wie viel Wasser dazwischen schon bewegt ist — und beide werden an genau derselben Stelle unzuverlässig.
· 3 Min. Lesezeit
343 m/s in Luft bei 20 °C, 1.481 in Wasser, 5.960 in Stahl und 12.000 in Diamant. Stahl ist 6.500-mal dichter als Luft und trägt Schall nur 17-mal schneller — Dichte bremst den Schall.
· 3 Min. Lesezeit
Zwei Kilo Wasser brauchen 83,72 kJ für zehn Grad. Dieselben zwei Kilo Aluminium brauchen 18, Stahl 9. Diese eine Zahl erklärt Wasserkocher, Heizkörper und Küstenklima.
· 3 Min. Lesezeit
Aus dem Stand in zehn Sekunden auf 27 m/s zu kommen sind 2,7 m/s². Aus derselben Geschwindigkeit in drei Sekunden zu halten sind −9 m/s² — ein Drittel der Schwerkraft gegen neun Zehntel.
· 3 Min. Lesezeit
Ein 1.500-kg-Auto bei 14 m/s trägt 21.000 kg·m/s Impuls und 147.000 Joule. Bei 28 m/s beträgt der Impuls 42.000 und die Energie 588.000 — zwei sehr verschiedene Rechnungen derselben Verdopplung.
· 3 Min. Lesezeit
Ein Meterpendel schwingt in 2,0061 Sekunden, nicht in 2. Genau zwei erfordert 0,994 m — und die vierfache Länge verdoppelt die Periode nur.
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Radius 5, Höhe 10: Der Kegel fasst 261,8, der ihn umgebende Zylinder 785,4. Das Verhältnis ist genau ein Drittel und gilt für jede beliebige Grundform.
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Parallele Seiten von 8 und 5 bei einer Höhe von 4 ergeben eine Fläche von 26 — die mittlere Breite mal der Höhe. Mach beide Seiten gleich, und es ist ein Rechteck; schrumpfe eine auf null, und es ist ein Dreieck.
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Das harmonische Mittel von 40 und 60 ist 48, nicht 50, weil die langsamere Strecke länger dauert und daher stärker zählt. Für 1, 2 und 4 beträgt es 1,714 gegen ein arithmetisches Mittel von 2,33.
· 3 Min. Lesezeit
Für 2, 5, 7, 8, 10, 13, 18, 21, 25, 30 ist die Spannweite 28, die Standardabweichung 9,24 und der Interquartilsabstand 13. Ersetze den letzten Wert durch 300, und nur der Interquartilsabstand bleibt unverändert.
· 3 Min. Lesezeit
8 Gramm erhalten, wo 10 möglich waren, sind 80 % Ausbeute. Verkette fünf solcher Schritte, und 32,8 % des Ausgangsstoffs kommen am Ende an — deshalb wird eine lange Synthese Schritt für Schritt beurteilt.
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0,5 mol in 2 Litern sind 0,25 mol/L. Die zwei Liter müssen die fertige Lösung sein — den Stoff zu zwei Litern Wasser zu geben ergibt etwas anderes, und das Etikett stimmt dann nicht.
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Sonnenaufgang, Sonnenuntergang und der Höchststand der Sonne hängen an deinem Längengrad, nicht an der Uhr an der Wand. Innerhalb derselben gesetzlichen Zeitzone kann der wahre Mittag anderthalb bis zwei Stunden auseinanderliegen — und dieser Abstand erklärt die meisten Überraschungen darüber, wann die Sonne aufgeht.
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Der Massenanteil teilt durch die Lösung, nicht durch das Lösungsmittel. Fünfundzwanzig Gramm in hundert ergeben 125 Gramm Lösung und 20 % — ein Viertel weniger als erwartet.
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Von 50 auf 75 sind +50 %. Von 75 zurück auf 50 sind −33,3 %. Die Bewegung beträgt beide Male dieselben 25 Einheiten; die Basis nicht.
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2 verhält sich zu 5 wie 8 zu 20. Kartenmaßstäbe, Kilopreise, Prozentsätze, das Skalieren von Rezepten und das Vergrößern von Plänen sind dieselbe Gleichung unter fünf Namen.
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500 auf 350 ist ein Rückgang von 150, also 30 %. Ist die Größe selbst ein Prozentsatz, hat derselbe Rückgang zwei korrekte Beschreibungen, die sich um mehr als das Zehnfache unterscheiden.
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Ein Fall aus 20 Metern dauert 2,02 Sekunden und endet bei 19,81 m/s. Aus 40 Metern dauert er 2,86 Sekunden und endet bei 28,01 m/s — die Geschwindigkeit steigt um den Faktor √2, die Energie um genau zwei.
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Für 10, 12, 15, 11, 13, 14 beträgt die Standardabweichung 1,87 und der Standardfehler 0,76. Sie beantworten verschiedene Fragen, und nur einer von beiden wird mit mehr Daten kleiner.
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Fünf Punkte ergeben r = 0,853, was stark klingt. Die Signifikanzschwelle bei fünf Punkten liegt bei 0,878 — dieser Wert verfehlt sie, und eine perfekte Parabel erreicht exakt null.
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Ein Mittelwert von 100 mit einer Standardabweichung von 15 bei 30 Beobachtungen ergibt 100 ± 5,37 auf dem 95-%-Niveau. Mit 120 Beobachtungen sind es ± 2,68 — genau die Hälfte, denn die Stichprobengröße steht unter einer Wurzel.