Die Diagonalen eines Vielecks sind ein Vollnetz minus dem Umfang

Warum Vollvermaschung bei kleinen Zahlen aufhört

Die Zahl wächst mit dem Quadrat der Knotenzahl, jede zusätzliche Maschine kostet also mehr als die vorige. Von zehn auf zwanzig Knoten steigen die Verbindungen von 45 auf 190, auf hundert Knoten auf 4.950 — hundertfach mehr Verbindungen für zehnfach mehr Maschinen. Deshalb überleben Vollnetze nur unter einer Handvoll Kernrouter oder in einem kleinen Cluster, und alles Größere läuft über Hubs, Spines oder Broker. Dieselbe Rechnung erklärt, warum ein Treffen von zwölf Personen sechsundsechzig mögliche Nebengespräche hat und warum die Abstimmungskosten eines Teams schneller steigen als seine Kopfzahl.

Die beiden anderen Ausgaben sind einfacher, als sie wirken

Jedes n-Eck zerfällt in n−2 Dreiecke, wenn man die Diagonalen von einer einzigen Ecke aus zieht, und da jedes Dreieck 180 Grad trägt, beträgt die Innenwinkelsumme (n−2) × 180: 720 beim Sechseck, 3.240 beim Zwanzigeck. Das Ergebnis gilt für unregelmäßige wie für regelmäßige Vielecke und kümmert sich nicht um Konvexität — ein eingedellter Umriss hat dieselbe Winkelsumme wie ein ordentlicher mit gleich vielen Ecken. Es ist die schnellste Probe auf eine Vermessung: die gemessenen Innenwinkel addieren und sehen, ob sie die Zahl treffen, die sie treffen müssen.

Häufige Fragen

Kreuzen sich alle Diagonalen innen?

Nur in einem konvexen Vieleck. Beule den Umriss ein, und manche Diagonalen verlassen die Form ganz, laufen durch die Kerbe und wieder hinein — sie bleiben Diagonalen im hier verwendeten Sinn, der Paare nicht benachbarter Ecken zählt, gleich wo die Strecke verläuft. Die Zahl bleibt also n(n−3)/2, welche Form auch immer, während die Zahl der inneren Kreuzungen sich ändert: In einem konvexen Vieleck, in dem sich nie drei Diagonalen in einem Punkt treffen, ist die Zahl der inneren Kreuzungen die Zahl der Möglichkeiten, vier Ecken zu wählen, denn jedes Viererpaket ergibt genau eine Kreuzung.

Warum hat ein Dreieck keine?

Weil jede Ecke zu jeder anderen benachbart ist, es bleibt also kein nicht benachbartes Paar zu verbinden. Die Formel bestätigt das ohne Sonderbehandlung: 3 × 0 ÷ 2 ist null, und das 4 × 1 ÷ 2 eines Vierecks liefert die zwei Diagonalen, die jeder zeichnen kann. Dass der Ausdruck die kleinsten Fälle richtig behandelt, ist eine bescheidene, aber echte Bestätigung für ihn — eine Abzählformel, die bei n = 3 eine Ausnahme bräuchte, wäre eher ein Zeichen für eine schiefgelaufene Herleitung als eine Eigenart der Dreiecke.