Die Mitternachtsformel anwenden: ax² + bx + c = 0 lösen

Die Formel richtig aufstellen

Die Formel funktioniert erst, wenn die Gleichung in Standardform ist: ax² + bx + c = 0, mit null rechts. Beginnst du mit 2x² + 3x = 5, ziehe zuerst 5 ab, um 2x² + 3x − 5 = 0 zu erhalten, also a = 2, b = 3, c = −5. Der häufigste Fehler ist ein falsch gelesenes Vorzeichen, schreibe daher jeden Koeffizienten samt Vorzeichen, bevor du einsetzt.

Achte besonders auf den −b-Term. Ist b bereits negativ, wird −b positiv: für x² − 5x + 6 = 0 ist b = −5, also −b = +5. Ein sorgfältiger Aufbau — a = 1, b = −5, c = 6 — macht aus der Formel x = (5 ± √(25 − 24)) / 2. Die Vorzeichen hier richtig zu setzen, beseitigt fast jeden Folgefehler.

Was die Diskriminante verrät

Die Diskriminante b² − 4ac entscheidet die Gestalt der Antwort schon vorab. Ist sie positiv, ist die Wurzel eine reelle Zahl und das ± liefert zwei verschiedene reelle Wurzeln. Ist sie genau null, addiert und subtrahiert das ± nichts, sodass beide Wurzeln zu einer einzigen doppelten Lösung zusammenfallen. Ist sie negativ, ist die Wurzel einer negativen Zahl nicht reell, also hat die Gleichung keine reellen Lösungen — nur komplexe.

Geometrisch sind die Wurzeln dort, wo die Parabel y = ax² + bx + c die x-Achse schneidet. Zwei reelle Wurzeln: Sie schneidet zweimal; Diskriminante null: Sie berührt die Achse nur im Scheitel; negative Diskriminante: Die Parabel schwebt ganz über oder unter der Achse und schneidet nie. Zuerst das Vorzeichen der Diskriminante zu prüfen sagt, welche Art Antwort zu erwarten ist.

Ein vollständig gerechnetes Beispiel

Löse 2x² + 3x − 5 = 0. Hier ist a = 2, b = 3, c = −5. Die Diskriminante ist 3² − 4 × 2 × (−5) = 9 + 40 = 49, positiv, also sind zwei reelle Wurzeln zu erwarten. Ihre Quadratwurzel ist 7, also x = (−3 ± 7) / (2 × 2) = (−3 ± 7) / 4. Der Plus-Zweig ergibt (−3 + 7) / 4 = 1, der Minus-Zweig (−3 − 7) / 4 = −2,5.

Prüfe stets durch Rückeinsetzen. Für x = 1: 2(1) + 3(1) − 5 = 2 + 3 − 5 = 0. Für x = −2,5: 2(6,25) + 3(−2,5) − 5 = 12,5 − 7,5 − 5 = 0. Beide stimmen. Dieser Einsetzschritt fängt Vorzeichen- und Rechenfehler ab und dauert nur einen Moment gegenüber dem völligen Neurechnen.

Häufige Fragen

Was, wenn a null ist?

Dann ist es keine quadratische Gleichung. Ist a = 0, verschwindet der x²-Term und es bleibt die lineare Gleichung bx + c = 0, einfach gelöst durch x = −c / b. Die Mitternachtsformel würde durch 2a = 0 teilen, was undefiniert ist, nutze also die lineare Methode.

Kann ich immer faktorisieren statt die Formel zu nutzen?

Nicht immer. Faktorisieren geht schnell, wenn die Wurzeln einfache ganze Zahlen oder saubere Brüche sind, doch viele Quadratische haben irrationale oder unschöne Wurzeln, die sich sperren. Die Formel funktioniert für jede Quadratische und ist so der verlässliche Rückgriff, wenn das Faktorisieren nicht gelingt.

Was bedeutet eine doppelte Wurzel?

Es bedeutet, dass die zwei Lösungen gleich sind, weil die Diskriminante null ist. Für x² − 4x + 4 = 0 ist die Diskriminante 16 − 16 = 0, also ist x = 2 die einzige Wurzel, doppelt gezählt. Die Parabel berührt die x-Achse in genau einem Punkt, ihrem Scheitel.

Wie gehe ich mit einer negativen Diskriminante um?

Es gibt keine reellen Lösungen; will dein Kurs also nur reelle Antworten, gibst du das an. Sind komplexe Zahlen erlaubt, schreibe die Wurzel der negativen Diskriminante mit i, wobei i² = −1, und das ± ergibt dann ein Paar konjugiert komplexer Wurzeln.