Die Neunerprobe sieht kein vertauschtes Ziffernpaar

Warum neun und keine andere Zahl

Weil zehn bei Division durch neun den Rest eins lässt — und jede Zehnerpotenz ebenso. Eine Ziffer in der Hunderterspalte trägt daher denselben Rest bei wie dieselbe Ziffer allein, und der Rest der ganzen Zahl fällt in die Summe ihrer Ziffern zusammen. Der Trick ist also eine Eigenschaft der Schreibweise zur Basis zehn, nicht der Zahlen selbst: Zur Basis sechzehn macht dasselbe Argument die Fünfzehn zur Zauberzahl, zur Basis zwei die Eins. Die Drei erbt die Eigenschaft, weil sie neun teilt — deshalb prüft die Quersumme auch die Teilbarkeit durch drei.

Was eine echte Prüfziffer anders macht

Zahlendreher gehören zu den häufigsten Fehlern beim Abschreiben einer Zahl; jedes Verfahren, das sie übersieht, taugt nicht für Kontonummern, Strichcodes oder Kennungen. Die Abhilfe ist, jede Stelle vor dem Addieren mit einem anderen Gewicht zu multiplizieren, was die Summe von der Reihenfolge abhängig macht: Die Prüfziffer einer Bankkontonummer, die einer Buchkennung und die einer Zahlungskarte tun genau das und unterscheiden sich vor allem in Gewichten und Modul. Die Neunerprobe überlebt als Kopfrechenkontrolle, wo ihre Schwäche weniger wiegt als die Tatsache, dass sie in zwei Sekunden im Kopf gelingt.

Häufige Fragen

Warum ist die Ziffernwurzel von 123456789 neun und nicht null?

Weil die Ziffernwurzel definitionsgemäß im Bereich eins bis neun bleibt; ein Vielfaches von neun bekommt daher neun und nicht null. Sein Rest bei Division durch neun ist tatsächlich null, und beide Konventionen beschreiben dieselbe Tatsache von entgegengesetzten Enden. Als Rechenkontrolle spielt der Unterschied nie eine Rolle, da beide Seiten des Vergleichs dieselbe Konvention nutzen; in eine Formel eingesetzt, die einen Rest erwartet, spielt er sehr wohl eine Rolle, und die Neun muss auf null zurückgebildet werden. Beide Vorstellungen auseinanderzuhalten ist hier die ganze Schwierigkeit.

Kann die Probe je bei einem falschen Ergebnis durchgehen?

Regelmäßig — sie lässt etwa eine von neun falschen Antworten durch, denn ein Fehler, der zufällig ein Vielfaches von neun ist, ändert die Wurzel nicht. Zwei Ziffern zu vertauschen ist der häufigste Weg dorthin, da die Differenz beider Zahlen stets ein Vielfaches von neun ist, aber auch jeder Irrtum um neun, neunzig oder neunhundert tut dasselbe. Die Probe ist also einseitig: Ein Scheitern beweist einen Fehler, ein Bestehen beweist nichts. Diese Asymmetrie gehört klar gesagt, denn ein Test, der acht von neun Fehlern fängt, wirkt weit schlüssiger, als er ist, wenn er sauber zurückkommt.