Une seule formule couvre la sphère, l'œuf et la planète

Étirer un axe étire le volume dans la même proportion

Comme les trois demi-axes se multiplient, chacun intervient linéairement dans la réponse : rendre une forme deux fois plus courte dans une direction divise le volume par deux, et le faire dans les trois directions le divise par huit. C'est une relation plus douce que la loi du cube qui régit la mise à l'échelle d'un objet entier, et c'est pourquoi l'ellipsoïde est le modèle naturel dès qu'une chose est aplatie dans une seule direction — un globule rouge, une lentille, une planète écrasée. Cela signifie aussi que les trois nombres se réordonnent librement : 5, 3, 4 et 3, 4, 5 décrivent des formes orientées différemment aux volumes identiques, ce qui sert parfois à vérifier qu'une valeur n'a pas été saisie dans la mauvaise case.

Pourquoi une planète n'est pas une sphère

La rotation projette la matière vers l'extérieur à l'équateur et non aux pôles : tout corps fluide en rotation s'installe donc en ellipsoïde aplati. L'aplatissement de la Terre est faible — environ une part sur 298, soit vingt et un kilomètres d'écart entre les deux rayons — et il suffit à compter pour la navigation, pour les orbites de satellites et pour la définition des systèmes de coordonnées qu'emploie toute carte, bâtis sur un ellipsoïde de référence et non sur une sphère. Jupiter, qui tourne en moins de dix heures, est visiblement aplati dans une petite lunette. La règle est générale : plus la rotation est rapide et le corps peu rigide, plus il s'éloigne de la sphère.

Questions fréquentes

L'aire de la surface est-elle aussi simple ?

Pas du tout. Le volume possède une formule élémentaire exacte, l'aire d'un ellipsoïde général non — elle réclame des intégrales elliptiques, et les valeurs citées viennent d'approximations et non d'une expression exacte. L'aire donnée par l'outil est l'une de ces approximations, juste à une fraction de pour cent près pour des formes qui ne sont pas extrêmement allongées : assez pour tout usage pratique, pas assez pour l'annoncer à cinq chiffres. La sphère est le cas particulier où tout est propre, et c'est l'une des raisons pour lesquelles une si grande part de la physique se fait sur des sphères.

Comment mesurer les demi-axes d'un objet réel ?

Prends les trois plus grandes largeurs perpendiculaires entre elles et divise chacune par deux. Un pied à coulisse le fait bien ; un mètre ruban non, car il suit la surface au lieu de la traverser, et l'écart sur un objet arrondi est précisément l'erreur qu'on cherchait à éviter. Le résultat ne vaut que ce que vaut l'hypothèse d'un vrai ellipsoïde — un œuf n'en est visiblement pas un, plus renflé à une extrémité, si bien que le traiter comme une forme symétrique surestime légèrement le volume. Quand la précision compte plus que la commodité, le déplacement d'eau mesure directement le volume et court-circuite toute la géométrie.