Come funziona l'emivita: cosa resta dopo 1, 3 e 10 emivite

Una formula scritta in due modi

La forma in base due è quella con cui ragionare: rimanente = iniziale × (1/2)^(t / t½). L'esponente t / t½ è un conteggio di emivite e, essendo un rapporto fra due tempi, non ha unità — ed è per questo che entrambi i tempi vanno espressi nella stessa unità prima di dividerli. Dagli 11 460 anni contro un'emivita di 5 730 anni e l'esponente vale 2: resta un quarto. Dagli un tempo in ore contro un'emivita in minuti e sbaglierai di un fattore sessanta sull'esponente, cioè di circa 10^18 sul risultato.

Fisica e farmacologia scrivono di solito la stessa curva come N(t) = N0 × e^(−λt), con λ = ln 2 / t½. Nella seconda forma non c'è nulla di più profondo: ln 2 vale 0,6931, quindi un'emivita di 10 unità dà λ = 0,06931 per unità, ed entrambe le espressioni restituiscono lo stesso numero. Ciò che la forma esponenziale mette in luce è la vita media, τ = 1/λ = t½ / ln 2 = 1,4427 × t½. È più lunga dell'emivita, cosa che sorprende spesso. Il motivo sta nella coda della distribuzione: poche entità sopravvivono per molte emivite e tirano la media verso l'alto, mentre la mediana — il punto in cui esattamente metà è sparita — è per definizione l'emivita stessa.

Nulla arriva mai a zero, quindi la pratica adotta una convenzione

Dimezzare è una moltiplicazione, non una sottrazione, e moltiplicare un numero positivo per un mezzo si può ripetere all'infinito senza mai produrre zero. La curva è asintotica: si avvicina all'asse e non lo tocca mai. Perciò la domanda comune — quanto ci vuole perché sparisca del tutto — non è una domanda difficile, è una domanda senza risposta matematica, e qualsiasi fonte che vi dia un numero ha scelto in silenzio una soglia. La versione onesta è dichiarare la soglia che si vuole. Il 10% rimanente si raggiunge a 3,32 emivite, l'1% a 6,64 e un decimo di punto a 9,97. Quei numeri sono i logaritmi in base due di 10, 100 e 1000, ed è da lì che viene la nota regola delle dieci emivite.

C'è una seconda ragione, fisica, per cui la curva liscia prima o poi smette di descrivere la realtà: un campione reale contiene un numero intero finito di entità, e il decadimento è un evento casuale per singola entità, non un deflusso regolare. L'esponenziale è il valore atteso di quel processo casuale. Parti da una mole di isotopo radioattivo, circa 6,022 × 10^23 atomi: dopo dieci emivite ne restano all'incirca 5,9 × 10^20 — meno di un millesimo della quantità iniziale e, ciò nonostante, un numero assoluto enorme. Parti invece da mille atomi e dopo dieci emivite te ne aspetti circa uno, punto in cui parlare di frazioni smette di essere utile e stai contando eventi singoli. La regola delle dieci emivite parla di proporzioni, mai di quantità assolute, e un campione abbastanza grande può restare misurabile ben oltre.

Un'emivita è costante solo se il processo è del primo ordine

Tutto quanto precede presuppone che la velocità di scomparsa sia proporzionale alla quantità presente. È questo che significa primo ordine, e il decadimento radioattivo è il caso da manuale: ogni nucleo decade con probabilità fissa per unità di tempo, indipendentemente dai vicini. Sotto questa ipotesi l'emivita è una proprietà della sostanza e non cambia mai — la seconda emivita dura esattamente quanto la prima. La IUPAC è prudente su questo. La sua voce sull'emivita di una reazione precisa che il termine ha senso solo in casi particolari, soprattutto nella cinetica del primo ordine; in una reazione del secondo ordine l'emivita dipende dalla concentrazione iniziale e ogni emivita successiva dura il doppio della precedente. Se stai calcolando un'emivita per un processo la cui velocità non segue la propria grandezza, il numero che ottieni descrive un punto di partenza preciso e nient'altro.

La stessa cautela vale quando due vie di eliminazione indipendenti agiscono insieme. Un radionuclide dentro un organismo vivo se ne va per due meccanismi — decade e l'organismo lo elimina — e le due costanti di velocità si sommano: 1 / t_eff = 1 / t_fis + 1 / t_biol. Poiché a sommarsi sono i reciproci, l'emivita efficace è sempre più breve di ciascuna delle due prese da sola. Prendi un'emivita fisica di 8 giorni e una biologica di 24 giorni: i reciproci danno 0,125 + 0,041667 = 0,166667, quindi t_eff = 6 giorni, meno della più breve delle due. Sommare le emivite, o farne la media, sbaglia di parecchio, e nella direzione che sovrastima quanto a lungo la sostanza resta.

Domande frequenti

Come ricavo un'emivita da due misure?

Riordina la legge di decadimento: t½ = t × ln 2 / ln(N0 / N), dove N0 è la prima lettura, N la seconda e t il tempo che le separa. Supponi che resti il 30% dopo 12 ore. Allora ln(1 / 0,30) = 1,2040 e t½ = 12 × 0,6931 / 1,2040 = 6,91 ore. Verifica tornando in avanti: (1/2)^(12 / 6,91) = 0,300. Due letture sono il minimo, ma sono anche la stima meno robusta possibile — il rapporto N0 / N sta dentro un logaritmo, quindi qualche punto percentuale di rumore di misura sposta il risultato in modo percepibile. Quando i dati lo consentono, adatta una retta di ln N contro t su molti punti e prendi la pendenza come −λ.

L'emivita è la stessa cosa della vita media?

No, e la media è la più lunga delle due. La vita media vale τ = 1 / λ = t½ / ln 2, cioè 1,4427 volte l'emivita — un isotopo con emivita di 10 giorni ha una vita media di 14,4 giorni. L'emivita è la mediana della distribuzione delle vite individuali, il punto in cui metà delle entità è sparita; la media è tirata a destra dal piccolo numero che sopravvive per più emivite. Confonderle è un errore del 44%, sempre nella stessa direzione, quindi conviene controllare a quale grandezza si riferisca davvero un dato pubblicato.

Ogni quantità che diminuisce ha un'emivita?

Solo se decade esponenzialmente, cioè se la velocità di perdita è proporzionale alla quantità ancora presente. Questo copre il decadimento radioattivo, le reazioni chimiche del primo ordine, la scarica di un condensatore attraverso una resistenza e i processi di eliminazione non saturi. Non copre una quantità che cala di un ammontare fisso per unità di tempo: un serbatoio che si svuota a 10 litri al minuto impiega 5 minuti per passare da 100 a 50 litri e solo 2,5 minuti per passare da 50 a 25, quindi il tempo di dimezzamento si accorcia di continuo e non c'è un'emivita unica da citare. La prova rapida è controllare se i dimezzamenti successivi durano lo stesso. Se non lo fanno, usa la legge cinetica sottostante invece di imporgli un'emivita.