Come calcolare una diluizione con C1V1 = C2V2

Che cosa conserva davvero l'equazione

C1V1 = C2V2 è un'affermazione sul soluto, non sul liquido. Concentrazione per volume è una quantità di sostanza: il membro di sinistra conta le moli che prelevi dal flacone di madre, quello di destra le moli presenti nel matraccio alla fine. Diluire aggiunge solvente e nulla più, quindi quella quantità non può cambiare, e l'equazione è solo l'uguaglianza fra le sue due scritture. Letta così la direzione è ovvia: se la concentrazione scende di un fattore, il volume deve salire dello stesso fattore, perché il loro prodotto è fissato.

Questa lettura dice anche dove l'equazione smette di funzionare. Poiché entrambi i membri sono una concentrazione per un volume, ogni unità già espressa come quantità per unità di volume si semplifica pulitamente: mol/L, g/L, percentuale massa su volume, ppm riferite al litro. Le unità costruite sulla massa no. La molalità è moli per chilogrammo di solvente, e la percentuale massa su massa grammi per grammo di soluzione: moltiplicarle per un volume non dà nulla di sensato. Per quelle serve l'analogo di massa, m1w1 = m2w2 con frazioni in massa e masse totali, e si pesa invece di pipettare. L'indizio è nel nome dell'unità: se il denominatore non è un volume, la forma volumetrica dell'equazione non si applica.

La sottrazione: aggiungi V2 meno V1 e porta alla tacca

V2 è il volume totale della soluzione finita, madre compresa. Non è il volume di solvente, e scambiarli è l'errore che rovina in silenzio una preparazione. Prendi 25 mL di madre e aggiungi 500 mL d'acqua e ottieni 525 mL, non 500, quindi la concentrazione è 25/525 della madre invece di 25/500 — 0,0952 mol/L invece di 0,1000, circa il 5% in meno. Con un fattore di diluizione di 20 l'errore è abbastanza piccolo da sfuggire a un'occhiata rapida e abbastanza grande da contare; con un fattore 2 è uno scarto di un terzo. La formulazione sicura da mettere nel protocollo è portare a V2, mai aggiungere V2.

C'è una seconda ragione per scriverlo così. I volumi non sono rigorosamente additivi: mescolare etanolo e acqua dà un volume totale minore della somma dei due, e gli acidi concentrati si comportano allo stesso modo, quindi V2 − V1 è un buon valore di lavoro più che un valore esatto. La procedura rigorosa è perciò misurare V1 con cura, aggiungere la maggior parte del solvente, omogeneizzare e solo allora portare alla tacca di un matraccio tarato. In una diluizione acquosa diluita la differenza fra le due strade sta molto sotto l'incertezza della pipetta; per alcoli e acidi concentrati no. Qui trova posto anche una nota di sicurezza, perché l'ordine di aggiunta non è libero: diluendo un acido concentrato si versa l'acido nell'acqua e mai il contrario, così il calore liberato finisce in un volume grande e non in uno piccolo.

Fattori di diluizione e le due convenzioni dietro 1:10

Il fattore di diluizione è il rapporto V2 / V1, uguale a C1 / C2. È un numero unico che riassume l'intera operazione e vale la pena calcolarlo perché offre una verifica indipendente: se il fattore voluto era 20 e i due volumi non stanno in rapporto 20, qualcosa non torna prima ancora di toccare una pipetta. La notazione, purtroppo, è ambigua. Come usata qui, 1:10 significa una parte di madre portata a dieci parti totali, cioè un fattore 10. Altrove la stessa scrittura indica una parte di madre aggiunta a dieci parti di solvente, undici parti totali e un fattore 11. Entrambe le convenzioni sono in uso e nessuna è sbagliata: sono semplicemente diverse. La via d'uscita è scrivere il fattore come numero, o indicare i due volumi, e leggere l'1:10 altrui come una domanda e non come un'istruzione.

Le diluizioni seriali discendono dallo stesso rapporto, con una regola: i fattori si moltiplicano, non si sommano. Tre passaggi successivi di 1:10 danno un fattore complessivo di 10 × 10 × 10 = 1000, non 30, ed è esattamente la ragion d'essere della tecnica. Raggiungere un fattore 1000 in un solo passaggio significherebbe pipettare 0,5 mL in 500 mL, e l'errore relativo su quel mezzo millilitro domina l'intero risultato; tre passaggi da 5 mL in 50 mL portano ciascuno un errore relativo assai minore, per quanto si accumulino lungo la catena. Mescola bene fra un passaggio e l'altro e cambia puntale ogni volta, perché il trascinamento sul puntale è un errore sistematico che sposta tutte le concentrazioni successive nella stessa direzione.

Domande frequenti

Quanto solvente aggiungo davvero?

V2 − V1, non V2. Se il calcolo dice di prelevare 25 mL di madre e finire con 500 mL, il solvente è 475 mL. In pratica non misurare quei 475 mL a parte: metti i 25 mL di madre nel matraccio e porta il contenuto alla tacca dei 500 mL, il che assorbe sia l'aritmetica sia il fatto che i volumi non si sommano esattamente. La differenza è massima quando il fattore di diluizione è piccolo: passando da 1,0 mol/L a 0,5 mol/L, V1 è metà di V2, quindi aggiungere V2 invece di V2 − V1 ti lascerebbe un terzo sotto il bersaglio anziché su di esso.

1:10 significa una parte su dieci, oppure una parte per dieci?

Circolano entrambe le letture, ed è per questo che la notazione da sola non è un'istruzione affidabile. Questo articolo e la calcolatrice usano una parte su dieci: un volume di madre portato a dieci volumi totali, un fattore di diluizione di 10. L'altra convenzione la legge come un volume di madre più dieci volumi di solvente, undici in totale, un fattore 11 — il 10% di differenza sulla concentrazione finale. I protocolli analitici e clinici intendono di solito il primo senso; parte della letteratura su formulazioni e prodotti per la pulizia intende il secondo. Quando scrivi un protocollo, dai il fattore come numero o esplicita i due volumi; quando ne leggi uno, controlla che i totali tornino prima di fidarti dei due punti.

E se la calcolatrice restituisce un volume finale minore del volume di partenza?

Significa che hai chiesto di concentrare, non di diluire, e nessuna quantità di solvente ti ci porterà. C1V1 = C2V2 è simmetrica e restituirà volentieri V2 < V1 ogni volta che il bersaglio C2 supera la madre C1, ma l'operazione che allora descrive è togliere solvente — evaporazione, oppure un'altra madre più forte. Controlla prima le due concentrazioni: C2 deve essere minore di C1 perché una diluizione esista, e il rapporto C1 / C2 ti dice subito di quanto deve crescere il volume finale. Se il tuo bersaglio è davvero più concentrato di tutto ciò che hai, la risposta è una nuova soluzione madre, non un nuovo calcolo.