Un cono è esattamente un terzo del suo cilindro

La superficie usa l'apotema, non l'altezza

Il fianco di un cono è più lungo di quanto il cono sia alto, perché si inclina verso l'esterno. La sua lunghezza è √(r² + h²), qui √125 = 11,18 contro un'altezza di 10. L'area laterale è π × r × quell'apotema, cioè 175,6; sommando il disco di base da 78,5 si ottengono i 254,2 che lo strumento riporta. Usare l'altezza per errore dà 157,1 per il fianco, sottostimandolo del 10,6 % — errore che si manifesta come materiale mancante quando un cono viene tagliato da lamiera o verniciato. Ogni volta che una formula di cono o piramide riguarda la superficie e non il contenuto, verifica se chiede l'apotema.

Un cumulo di materiale sfuso sceglie la propria altezza

Ghiaia, sabbia e granaglie versate su terreno piano non formano un cono arbitrario: i fianchi si assestano sulla pendenza più ripida che il materiale regge, e quell'angolo dipende da cosa sia e da quanto sia umido. Il raggio di base e l'altezza non sono quindi indipendenti — versane altro dello stesso materiale e il cumulo si allarga crescendo, mantenendo la pendenza. Stimare un deposito da un raggio e da un'altezza indovinata risulterà di norma sbagliato per questo, e misurare l'altezza direttamente, o la circonferenza e la pendenza, è il modo di ottenere un numero utilizzabile. Gli angoli pubblicati variano molto fra materiali e con l'umidità: misura il cumulo che hai davanti invece di cercarne uno.

Domande frequenti

Perché un terzo e non la metà?

Perché il cono si restringe in due dimensioni insieme salendo, non in una. A metà altezza la sezione non è metà della base ma un quarto, dato che sia la larghezza sia la profondità si sono dimezzate. Sommare quelle fette decrescenti dà un terzo, e non la metà che darebbe una forma che si restringe linearmente — un triangolo, che si restringe in una sola dimensione, è infatti metà del suo rettangolo. Lo stesso ragionamento spiega perché una sfera sia due terzi del cilindro che appena la contiene, e perché l'esponente di una formula di volume superi sempre di uno quello della formula d'area corrispondente.

Come calcolo un tronco di cono?

Prendi il cono intero che la forma sarebbe stata e sottrai il piccolo cono tagliato in cima. Prolungare i fianchi fino a incontrarsi dà l'altezza totale, il cono intero si calcola come sempre, e la punta rimossa è un cono minore con la stessa pendenza. È esattamente l'aritmetica di un secchio, di un vaso da fiori e di una torre di raffreddamento, ed è perché raddoppiare la profondità di un vaso svasato aggiunge ben più del doppio di terra — gran parte del volume in più sta nella parte larga, in alto.