Resistenze in serie e in parallelo: le formule, e le tre cose che non ti dicono

Due formule, e cosa restituisce ciascuno strumento

In serie la stessa corrente attraversa ogni resistenza una dopo l'altra, e ciascuna si prende la sua quota di tensione: le tensioni si sommano, e con esse le resistenze — Rs = R1 + R2 + … Il calcolatore serie fa esattamente questo e nient'altro. Dagli la sua lista predefinita, 100, 220 e 330, e restituisce 650 Ω.

In parallelo la stessa tensione sta su ogni resistenza e ciascuna porta la propria corrente: ciò che si somma sono le correnti. E la corrente è V/R, quindi ciò che si somma è 1/R — le conduttanze — e la resistenza totale è il reciproco di quella somma: 1/Rp = 1/R1 + 1/R2 + … Il calcolatore parallelo restituisce 56,90 Ω per gli stessi tre valori, e dà qualcosa in più di un numero: inserisci una tensione e riporta anche la corrente totale, la potenza totale e la corrente in ciascuna resistenza. Ciò che non riporta è la potenza in ciascuna resistenza, che è il numero che decide se il circuito sopravvive, e ci torneremo.

Una conseguenza merita di essere messa come regola, perché è il controllo più rapido che esista: una combinazione in parallelo è sempre minore del suo membro più piccolo. Deve esserlo. Aggiungere un'altra resistenza in parallelo aggiunge un altro termine positivo alla somma delle conduttanze, cosa che può solo ingrandire la somma e quindi rimpicciolirne il reciproco. Metti 1 MΩ in parallelo a 1 Ω e il totale vale 0,999999 Ω — un milionesimo meno di 1 Ω, ma meno. Se un risultato in parallelo esce sopra il valore più piccolo della tua lista, è un errore di calcolo o di battitura, e il secondo è più probabile.

Di solito un membro possiede la risposta

Sposta una resistenza di una coppia in parallelo e il totale si sposta — ma non della stessa quantità per entrambe. La sensibilità del totale a un dato membro vale Rp diviso il valore di quel membro. In 100 ∥ 220 le sensibilità valgono 68,75/100 = 0,6875 e 68,75/220 = 0,3125, e sommano esattamente uno, cosa che non è nemmeno un caso: moltiplica tutto per lo stesso fattore e il totale si moltiplica per quel fattore, quindi le quote della variazione devono sommare uno. In pratica, un errore dell'1 % sulla 100 Ω sposta la risposta dello 0,69 %, mentre un errore dell'1 % sulla 220 Ω la sposta solo dello 0,31 %. Allarga i valori e l'effetto diventa brutale: in 100 ∥ 1000 la piccola possiede il 90,9 % della risposta, e potresti sbagliare parecchio sul 1 kΩ senza quasi accorgertene.

L'immagine speculare vale in serie, e i numeri sono letteralmente la stessa coppia scambiata. In 100 + 220 la sensibilità del totale a ciascun membro vale quel membro diviso il totale: 100/320 = 0,3125 e 220/320 = 0,6875. Lì è la resistenza grande a possedere la risposta, il che ha senso: in serie la maggiore fissa quasi tutto il totale, in parallelo lo fa la minore. Il modo pulito di ricordarlo: in ogni montaggio, il membro che conta è quello che fa più lavoro.

Tolleranza: due componenti al 5 % in parallelo restano al 5 %

È diffusa la convinzione che combinare resistenze faccia la media delle loro tolleranze. Non è così, non nel caso peggiore. Fai il conto: 100 ∥ 220 vale nominalmente 68,75 Ω. Prendi entrambi i componenti al 5 % in meno e ottieni 95 ∥ 209 = 65,3125 Ω, esattamente il 5 % in meno. Prendili al 5 % in più e ottieni 105 ∥ 231 = 72,1875 Ω, esattamente il 5 % in più. Non è un'approssimazione ma un'identità: la combinazione in parallelo è omogenea di grado uno, cioè scalare tutte le resistenze dello stesso fattore scala il risultato di quel fattore. Se i due componenti stanno allo stesso estremo della loro banda di tolleranza, il circuito ci sta anche lui. In serie vale lo stesso, per lo stesso motivo.

Ciò che si stringe è la dispersione statistica, e solo se i due errori sono davvero indipendenti. Combina le sensibilità della sezione precedente in quadratura — 5 % per 0,6875 e 5 % per 0,3125, radice della somma dei quadrati — e ottieni il 3,78 % per 100 ∥ 220. Per due resistenze uguali lo stesso conto dà il 3,54 %, il noto fattore uno su radice di due. Nota che quel valore è identico in serie e in parallelo, perché le due coppie di sensibilità sono gli stessi numeri scambiati. È una riduzione reale, ma è un'aspettativa e non una garanzia — e su una garanzia si costruisce una specifica.

L'ipotesi di indipendenza è esattamente dove crolla su un banco. Due resistenze staccate dallo stesso nastro vengono dallo stesso lotto, dalla stessa macchina, dallo stesso giorno: i loro errori sono correlati e non indipendenti — cosa che ti riporta al caso peggiore, non a quello statistico. Condividono anche una temperatura: scalda la scheda ed entrambe derivano nello stesso verso, e una deriva di modo comune è la peggiore possibile per questo ragionamento. Se ti serve davvero un valore più stretto dei componenti che hai, la soluzione è un componente più stretto, non due larghi. L'unico caso in cui associare aiuta davvero è la taratura: una resistenza grande in parallelo a una molto più piccola fa scendere quest'ultima di una quantità controllata, e poiché la sensibilità alla grande è minuscola, il suo errore non entra quasi nel risultato.

La potenza è dove ci si brucia davvero

Entrambe le resistenze di una coppia in parallelo vedono la stessa tensione: ciascuna dissipa V²/R, e la potenza va come uno diviso la resistenza. La più piccola prende quindi la quota maggiore, e quella quota è la frazione già incontrata: Rp diviso quella resistenza. Metti 12 V su 100 ∥ 220 e il totale è 2,09 W, di cui 1,44 W nella 100 Ω — il 68,8 % — e 0,65 W nella 220 Ω. Allarga i valori a 100 ∥ 1000 e la 100 Ω prende il 90,9 % di un totale minore. Così il membro di cui ti preoccupavi meno, quello che quasi non sposta la resistenza, è anche quello che quasi non scalda, e la piccola fa tutto il lavoro.

Ecco perché un componente da un quarto di watt è la scelta sbagliata più spesso di quanto si creda. Una resistenza da 100 Ω data per 0,25 W sopporta al massimo la radice di 0,25 per 100, cioè 5 V ai suoi capi — e nel momento in cui la tua coppia in parallelo si trova a 12 V, le si chiede quasi sei volte il valore nominale. Lo strumento parallelo ti mostrerà la corrente in quella resistenza, 120 mA, e la potenza totale della rete, ma non moltiplicherà le due resistenza per resistenza: nulla a schermo pronuncia la parola che conta. Fallo a mano: per ogni membro, eleva la tensione al quadrato e dividi per la resistenza di quel membro, e confronta con il valore nominale del componente con margine — metà del nominale è un tetto di lavoro ragionevole per tutto ciò che deve durare.

In serie tutto si inverte, ed è la metà utile della simmetria. La stessa corrente attraversa entrambe: ciascuna dissipa I²R, quindi la potenza va come la resistenza e la più grande è quella che scalda di più. Con 100 + 220 percorse da 50 mA, la 100 Ω dissipa 0,25 W e la 220 Ω 0,55 W — la stessa quota del 68,8 %, ma sull'altra resistenza. La regola da tenere: in ogni montaggio, il membro che prende più potenza è quello per cui il calcolatore ha meno probabilità di avvisarti, perché è quello a cui presti meno attenzione.

Cosa accettano e cosa no i due calcolatori

Lo strumento serie prende un solo campo di testo con valori separati da virgole, punti e virgola o spazi, ed è severo su cosa considera un numero. Digita 100, 220, 330 e funziona. Digita 1k, 2k2 e restituisce zero, perché nessuno dei due elementi si legge come numero ed entrambi vengono scartati in silenzio. Digita 10 kΩ e restituisce 10 Ω, perché lo spazio spezza l'inserimento in 10 e kΩ, il secondo viene buttato e il primo sopravvive come un dieci nudo — un fattore mille silenzioso, senza alcun avviso. La stessa trappola cattura lo spazio usato come separatore delle migliaia: 10 000 diventa 10 e 0, e il totale vale 10.

Lo strumento parallelo è più tollerante in un modo probabilmente peggiore, perché usa una lettura permissiva per casella: digita 1k in un campo e legge 1, digita 4k7 e legge 4. Ottieni un numero invece di un vuoto, e quel numero è sbagliato di tre ordini di grandezza senza nulla che lo lasci intuire. In entrambi gli strumenti il rimedio è lo stesso ed è noioso: digita ohm in chiaro, solo cifre, con punto decimale se serve. Scrivi 4700, non 4k7.

Un comportamento merita di essere segnalato come fisicamente sbagliato, e non come mera pignoleria. Il calcolo in parallelo scarta ogni valore non strettamente positivo: inserire 0 accanto a 100 e 220 dà 68,75 Ω — lo zero è ignorato. Elettricamente un percorso da zero ohm in parallelo è un cortocircuito franco, e il totale corretto vale zero ohm — esattamente la risposta che vorresti vedere se avessi appena digitato un ponticello nella tua netlist. La protezione c'è per evitare una divisione per zero, e costa che l'unico ingresso che dovrebbe urlare torni muto. Lo strumento serie ha la lacuna opposta: non filtra affatto, quindi un valore negativo viene sommato così com'è e 100 e −50 danno 150 Ω nello strumento parallelo ma 50 Ω in quello serie.

Domande frequenti

Perché il totale in parallelo è sempre sotto la resistenza più piccola?

Perché stai aggiungendo percorsi, non ostacoli. La corrente che la resistenza più piccola già lasciava passare continua a passare quando ne colleghi un'altra accanto — e la nuova aggiunge corrente propria. Più corrente totale a parità di tensione significa per definizione meno resistenza. L'algebra dice lo stesso: i reciproci si sommano, quindi la somma delle conduttanze è strettamente maggiore della più grande conduttanza singola, e il reciproco di un numero più grande è un numero più piccolo. Corollario utile per stimare a mente: una resistenza molto grande in parallelo non cambia quasi nulla — 1 MΩ su 1 Ω dà 0,999999 Ω, quindi se un membro vale cento volte l'altro puoi di solito ignorare il grande entro l'uno per cento.

Posso mettere due resistenze in parallelo per ottenere un valore che non ho?

Sì, ed è una tecnica legittima con tre costi da pesare. Il primo è la tolleranza: come questo articolo ha mostrato, associare non stringe il caso peggiore, quindi se ti serviva un valore preciso ti serve ancora un componente preciso. Il secondo è la potenza, perché i due membri non se la dividono equamente e la più piccola prende la quota maggiore: dimensionala per ciò che riceve davvero, non per metà del totale. Il terzo è che hai raddoppiato il numero di saldature e componenti che possono cedere, su una scheda il cui scopo era evitare di ordinare un pezzo. Dove la tecnica si guadagna davvero il posto è nel ritoccare leggermente verso il basso un valore normalizzato: una resistenza grande in parallelo al valore preferenziale più vicino lo sposta di una quantità piccola e controllata, e poiché la sensibilità alla grande è bassa, la sua tolleranza non conta quasi.

Due resistenze da 0,25 W in parallelo fanno una da 0,5 W?

Solo se sono uguali. Due resistenze identiche in parallelo si dividono davvero la potenza in parti uguali, quindi una coppia di componenti da 0,25 W dello stesso valore regge 0,5 W in due — è un trucco reale e comune, che dimezza anche la resistenza, cosa che è spesso il vero motivo per farlo. Due valori diversi non si dividono affatto in parti uguali. In 100 ∥ 220 il componente più piccolo prende il 68,8 % del totale, quindi una coppia da un quarto di watt cede quando la rete passa circa 0,36 W, e non 0,5 W, perché la 100 Ω arriva prima al proprio limite. Controlla sempre il membro più caricato e non il totale: eleva al quadrato la tensione sulla coppia, dividi per la resistenza più piccola, e quello è il numero che il componente più piccolo deve sopportare.

Perché lo strumento parallelo mostra le correnti ma non le potenze?

Mostra la resistenza totale, la corrente totale e la potenza totale, più il dettaglio della corrente in ogni singola resistenza — ma la potenza per resistenza non è a schermo, ed è proprio il numero che decide se un componente sopravvive. Puoi recuperarla in un passo da ciò che è mostrato: moltiplica la corrente di ogni resistenza per la tensione che hai inserito. Nel terzetto predefinito a 12 V le correnti sono 120 mA, 55 mA e 36 mA, quindi le potenze sono 1,44 W, 0,65 W e 0,44 W. Nota che la prima è già sei volte un quarto di watt. Se da questo articolo porti via un'abitudine, sia quella moltiplicazione: dura un secondo, usa solo numeri che lo strumento ti ha già dato, ed è il controllo che impedisce a una resistenza di diventare marrone.

Come devo digitare valori come 4k7 o 10 kΩ?

Non digitarli così. Digita il numero di ohm in chiaro: 4700 per 4k7, 10000 per 10 kΩ, 0,22 per 220 mΩ. Nessuno dei due strumenti capisce la notazione ingegneristica, e nessuno lo dice. Il calcolatore serie scarta ogni elemento che non riesce a leggere come numero, quindi 1k, 2k2 torna come totale zero, e 10 kΩ torna come dieci ohm perché lo spazio lo spezza e le lettere vengono buttate. La lettura per casella del calcolatore parallelo è più permissiva e quindi più pericolosa: legge le cifre iniziali e si ferma, così 1k diventa 1 e 4k7 diventa 4. In entrambi i casi il fallimento è silenzioso e l'errore vale un fattore mille — esattamente il tipo di errore che sopravvive a una revisione di progetto, perché il numero a schermo sembra un numero.