Il partitore di tensione: la formula è banale, l'ipotesi che la regge no

Cosa calcola lo strumento, e la nota che conta

Lo strumento risolve il partitore in tre direzioni, cosa più utile di quanto sembri. Nel primo modo gli dai Vin, R1 e R2 e restituisce Vout. Nel secondo gli dai la tensione di uscita che vuoi e R2, e risolve R1 = R2 × (Vin − Vout) / Vout. Nel terzo gli dai l'uscita che vuoi e R1, e risolve R2 = R1 × Vout / (Vin − Vout). Gli ultimi due sono il modo reale di progettare un partitore, perché si parte dalla tensione che serve e da una resistenza già decisa. Chiedigli 12 V portati a 3,3 V con R1 fissato a 10 kΩ e restituisce R2 = 3,793 kΩ, il numero che poi arrotondi a un componente reale.

Riporta anche la corrente e la potenza, ed è lì che comincia la lettura onesta di un partitore. La coppia predefinita da 10 kΩ a 12 V assorbe 0,6 mA e brucia 7,2 mW, in parti uguali perché le due resistenze sono uguali. Cambia il rapporto e la ripartizione segue le resistenze: nel caso 12 V verso 3,3 V qui sopra, 10 kΩ su 3,793 kΩ, la corrente vale 0,87 mA e i 7,57 mW di R1 sono quasi il triplo dei 2,87 mW di R2. Quell'asimmetria merita di essere notata, perché R1 è la resistenza che assorbe la differenza, ed è sempre quella che scalda di più in un partitore che abbassa molto.

E poi c'è la nota, stampata sotto lo schema: la formula mostrata è quella a vuoto e presuppone che dall'uscita si prelevi una corrente trascurabile. Non è una clausola di stile, è tutto il confine di ciò che lo strumento può dirti. Non esiste da nessuna parte nell'interfaccia un campo per un carico, quindi ogni numero a schermo — la tensione di uscita, la corrente, entrambe le potenze — descrive un partitore con nulla collegato al nodo centrale. Tutto ciò che segue riguarda cosa succede quando ci colleghi qualcosa, e niente di ciò è nello strumento.

Una legge esatta: il partitore è una sorgente con resistenza interna

Il teorema di Thévenin dice che ogni rete di sorgenti e resistenze, vista da due morsetti, si comporta esattamente come una sorgente di tensione in serie con una resistenza. Per un partitore la sorgente è l'uscita a vuoto — il numero che lo strumento ti ha dato — e la resistenza vale R1 in parallelo a R2, ottenuta cortocircuitando mentalmente l'alimentazione e chiedendosi quale resistenza vede il morsetto di uscita guardando verso l'interno. Per due resistenze da 10 kΩ sono 5 kΩ. Per 100 kΩ su 22 kΩ, 18,03 kΩ.

Una volta ottenuto questo, l'uscita caricata forma un secondo partitore, stavolta fra la resistenza interna e il tuo carico, e il tutto si riduce a una sola espressione: Vout caricata uguale Vout a vuoto diviso (1 + Rth / RL), dove Rth vale R1 ∥ R2. È esatto, non un'approssimazione. Verificalo sul caso predefinito: 6 V diviso (1 + 5000/100000) fa 6 / 1,05 = 5,714 V, che è ciò che dà il circuito completo. Verificalo su un monitor di batteria a 24 V costruito con 100 kΩ e 22 kΩ che pilota un ingresso da 1 MΩ: a vuoto 4,328 V, Rth di 18,03 kΩ, quindi 4,328 / (1 + 0,01803) = 4,251 V, un errore dell'1,77 %.

Questa è anche la correzione alla regola del pollice. Tutti ripetono che il carico deve essere dieci volte la resistenza bassa, ma la grandezza che governa l'errore è R1 ∥ R2, non R2. Le due coincidono solo quando R1 è molto maggiore di R2. Quando R1 è uguale a R2, la resistenza interna vale metà di R2, e la regola popolare risulta valere un errore di esattamente uno su (2k + 1) per un carico di k volte R2 — quindi dieci volte R2 dà il 4,76 %, venti volte dà il 2,44 %, e servono circa cinquanta volte R2 per scendere sotto l'uno per cento. Se vuoi un obiettivo di precisione e non una superstizione, dimensiona il carico rispetto a R1 ∥ R2 e leggi l'errore direttamente: vale molto approssimativamente Rth / RL.

Dove un partitore ha senso e dove no

Ha senso ovunque ciò che legge la tensione non prelevi praticamente nulla. L'ingresso di una porta logica CMOS, l'ingresso di un comparatore, il piedino di riferimento di un regolatore, il gate di un MOSFET, l'ingresso di un amplificatore operazionale: tutte impedenze da megaohm in su, e rispetto a un partitore con qualche kiloohm di resistenza interna l'errore di carico è un arrotondamento. Scalare una tensione di batteria nell'intervallo di ingresso di un convertitore analogico-digitale è l'uso esemplare, e l'aritmetica qui sopra è esattamente la verifica da fare prima di fidarsi della lettura.

Non ha senso dove il carico preleva corrente vera, e il cedimento non è graduale: è un crollo. Un partitore non è un alimentatore. Non regola, perché l'uscita si muove con il carico e non c'è alcuna retroazione ad accorgersene; non tiene una tensione quando il carico cambia, cosa che ogni carico reale fa; e la sua impedenza di uscita è fissata dalle resistenze, quindi l'unico modo di renderlo rigido è renderlo sprecone. Il numero che lo rende concreto: attacca un carico da 1 kΩ al caso predefinito a 12 V e 10 kΩ, e l'uscita passa da 6 V a 1 V. Se il tuo circuito ha bisogno di una linea più bassa e può assorbire corrente, la risposta è un regolatore — lineare se la corrente è piccola e la caduta modesta, a commutazione se una delle due è grande — e mai due resistenze.

Un caso sta in mezzo ai due e frega parecchia gente: l'ingresso del convertitore analogico-digitale di un microcontrollore. È ad alta impedenza a regime, quindi l'aritmetica qui sopra conclude che un partitore va bene; ma molti convertitori campionano su un piccolo condensatore interno e prelevano brevemente un impulso di corrente per caricarlo. Se la resistenza interna del partitore è troppo alta, quel condensatore non finisce di caricarsi entro la finestra di campionamento e la lettura esce bassa — senza avviso, e in un modo che sembra un errore di taratura e non un problema di impedenza di sorgente. I fogli tecnici danno un'impedenza di sorgente massima raccomandata proprio per questo. Il rimedio standard costa un componente: metti un condensatore fra l'uscita del partitore e massa, così l'impulso di campionamento è fornito dal condensatore e non attraverso le resistenze, cosa che abbassa l'impedenza di sorgente nell'istante che conta senza alzare di nulla la corrente a riposo.

Il compromesso della corrente a riposo, su cinque decadi

Poiché l'errore di carico dipende da R1 ∥ R2, puoi ridurlo a nulla usando resistenze basse. Il prezzo è che il partitore resta collegato in permanenza all'alimentazione e assorbe corrente, che il circuito faccia qualcosa oppure no. Quella corrente vale Vin diviso (R1 + R2), e non si ferma mai. La tabella qui sotto fissa il rapporto a 12 V portati a 6 V e percorre la coppia di resistenze da 100 Ω a 1 MΩ, con un carico da 100 kΩ appeso all'uscita per tutto il tempo. A 100 Ω il risultato è corretto entro mezzo decimo di punto percentuale, e il partitore brucia 720 mW per sempre. A 1 MΩ brucia 72 µW e legge 1 V invece di 6.

In un apparecchio alimentato da rete nessuno nota qualche milliwatt, quindi puoi permetterti di essere rigido. In qualsiasi cosa a batteria il calcolo si inverte del tutto: un partitore che assorbe 0,6 mA in continuo svuota una piccola cella in settimane, e lo fa mentre il dispositivo dorme, che è esattamente quando un progetto a batteria non dovrebbe spendere nulla. Ecco perché i monitor di batteria usano resistenze grandi — l'esempio 100 kΩ su 22 kΩ assorbe 197 µA e spreca 4,7 mW — ed ecco perché i più accurati aggiungono un transistor che collega il partitore a massa solo mentre si fa la lettura, portando il costo a riposo a quanto perde il transistor. Se il tuo partitore sta su una batteria e la sua corrente non è nel tuo bilancio energetico, è la prima cosa da controllare.

Altre due cose prima di fidarti dell'uscita

L'uscita segue l'ingresso, esattamente e per sempre. Un partitore non contiene alcun riferimento: è un rapporto, quindi un'alimentazione che cede del cinque per cento produce un'uscita che cede del cinque per cento. È ottimo quando misuri l'alimentazione stessa, cosa che fa un monitor di batteria, ed è un problema vero quando volevi un riferimento stabile per altro. Se ciò che legge il tuo partitore è un convertitore analogico-digitale il cui riferimento è quella stessa alimentazione, i due errori si annullano e ottieni una misura ratiometrica migliore di quanto meriti ciascuna parte. Se il convertitore ha un proprio riferimento preciso, non si annullano, e l'uscita del partitore eredita ogni tremolio della linea.

E i due stati predefiniti dello strumento non coincidono, cosa che vale la pena sapere se confronti la pagina con un esempio calcolato. Il partitore interattivo della pagina si apre con 12 V e due resistenze da 10 kΩ, e mostra 6 V. La voce di registro dietro lo strumento — la definizione che alimenta gli esempi generati altrove sul sito — porta altri valori predefiniti: 12 V con 1 kΩ e 2 kΩ, che danno 8 V. Entrambi sono aritmeticamente corretti per i propri ingressi; sono semplicemente due punti di partenza diversi per lo stesso strumento, e se vedi 8 V citato da qualche parte e 6 V a schermo, è quello il motivo e non un difetto in nessuno dei due calcoli.

Domande frequenti

Posso alimentare un dispositivo a 3,3 V da 5 V con un partitore di tensione?

No. Un dispositivo assorbe corrente, e nel momento in cui lo fa l'uscita del partitore crolla. Peggio, un dispositivo assorbe in modo diverso a seconda dell'istante — di più quando una radio trasmette, di meno quando dorme — quindi la linea di alimentazione si muoverebbe con il carico di lavoro, l'unica cosa che un'alimentazione non deve fare. Anche dimensionando il partitore abbastanza rigido da rendere piccola la caduta, dissiperesti molte volte il consumo del dispositivo in due resistenze, ed ecco perché i conti non tornano mai. La risposta è un regolatore: lineare se la corrente è modesta e la caduta di 1,7 V è accettabile come calore, a commutazione se la corrente è grande o il rendimento conta. Dove un partitore è giusto fra 5 V e 3,3 V è la segnalazione — portare un'uscita logica a 5 V verso un ingresso a 3,3 V che assorbe microampere — e anche lì un traslatore di livello è meglio se il segnale è veloce.

La regola del fattore dieci basta?

È un pavimento, non un obiettivo, ed è enunciata sulla grandezza sbagliata. L'errore è governato da R1 in parallelo a R2, non da R2 da sola, e le due coincidono solo quando R1 è molto maggiore. Nel caso comune di due resistenze uguali, un carico di dieci volte R2 dà un errore di esattamente uno su ventuno, cioè il 4,76 % — abbastanza da contare se leggi una tensione di batteria e la mostri all'utente, e irrilevante se piloti un comparatore a cui interessa solo da che lato della soglia sei. La procedura onesta è scegliere la precisione che ti serve, calcolare R1 ∥ R2, e pretendere che il carico valga quello diviso il tuo obiettivo di errore: per l'uno per cento serve un carico di cento volte R1 ∥ R2, che con due resistenze uguali fa circa cinquanta volte R2. Poi verifica con l'espressione esatta e non con la regola.

Perché lo strumento rifiuta di risolvere quando chiedo un'uscita maggiore dell'ingresso?

Perché non c'è risposta da dare. Un partitore resistivo può prendere solo una frazione dell'ingresso, quindi l'uscita sta strettamente fra zero e Vin, e chiedere qualcosa fuori da quell'intervallo fa produrre all'algebra una resistenza negativa. Nel modo che risolve R2 la formula è R1 × Vout / (Vin − Vout), che va all'infinito quando Vout si avvicina a Vin e diventa negativa oltre; nel modo che risolve R1 è R2 × (Vin − Vout) / Vout, che esplode quando Vout si avvicina a zero. Lo strumento protegge entrambi i casi e mostra un messaggio invece di un valore di componente assurdo, che è il comportamento giusto — una resistenza negativa non è un pezzo ordinabile. Se ti serve davvero un'uscita sopra l'ingresso, ti serve un convertitore elevatore o una pompa di carica, non un partitore.

Come verifico l'errore di carico se lo strumento non ha un campo per il carico?

In due passi, con un secondo strumento. Leggi prima l'uscita a vuoto nel calcolatore di partitore. Calcola poi R1 in parallelo a R2 — il calcolatore di resistenze in parallelo lo fa direttamente, e il suo risultato è la resistenza interna del partitore. Dividila per la tua resistenza di carico, aggiungi uno, e dividi l'uscita a vuoto per il risultato. Sul caso predefinito: 6 V a vuoto, R1 ∥ R2 = 5 kΩ, carico da 100 kΩ, quindi 6 diviso 1,05 dà 5,714 V. Se vuoi solo l'errore e non la tensione, vale quasi esattamente la resistenza interna divisa per il carico, in percentuale — 5 su 100 fa cinque per cento, e la risposta esatta era il 4,76 %. Quell'approssimazione è buona a una frazione di punto percentuale non appena il carico supera una decina di volte la resistenza interna, che è comunque la zona in cui dovresti progettare.

Un potenziometro si comporta come un partitore?

Lo è, con il punto di ripartizione mobile. La pista fra i due morsetti estremi è la resistenza totale, e il cursore la divide in R1 sopra e R2 sotto, quindi tutto questo articolo si applica invariato — compreso il comportamento sotto carico, con una sottigliezza in più che frega la gente. La resistenza interna R1 ∥ R2 non è costante mentre giri la manopola: è zero a entrambi gli estremi, dove una delle due vale zero, ed è massima al centro, dove vale un quarto della resistenza di pista. Un potenziometro caricato è perciò preciso agli estremi e peggiore al centro, cosa che piega la curva di risposta di un comando che a vuoto sembrava lineare. È anche il motivo per cui un controllo di volume che pilota un carico a bassa impedenza si comporta male a metà corsa, e per cui il rimedio è di solito bufferizzare il cursore anziché cambiare il potenziometro.