A prova dos nove não vê dois algarismos trocados

Porquê nove e não outro número

Porque dez deixa resto um na divisão por nove, e toda a potência de dez também. Isso significa que um algarismo na coluna das centenas contribui com o mesmo resto que esse algarismo sozinho, e o resto do número inteiro desaba na soma dos seus algarismos. O truque é portanto uma propriedade da escrita em base dez, não dos números em si: em base dezasseis o mesmo raciocínio faz do quinze o número mágico, e em base dois do um. O três herda a propriedade porque divide nove, e é por isso que a soma dos algarismos testa também a divisibilidade por três.

O que um dígito de controlo real faz de diferente

As transposições estão entre os erros mais frequentes ao copiar um número, pelo que qualquer esquema que as ignore é impróprio para números de conta, códigos de barras ou identificadores. O remédio é multiplicar cada posição por um peso diferente antes de somar, o que faz a soma depender da ordem: o dígito de controlo de uma conta bancária, o do identificador de um livro e o de um cartão de pagamento fazem todos isso, diferindo sobretudo nos pesos e no módulo. A prova dos nove sobrevive como controlo de cálculo mental, onde a sua fraqueza pesa menos do que o facto de se fazer de cabeça em dois segundos.

Perguntas frequentes

Porque é a raiz digital de 123456789 nove e não zero?

Porque a raiz digital está definida para ficar entre um e nove, pelo que um múltiplo de nove recebe nove e não zero. O seu resto na divisão por nove é mesmo zero, e as duas convenções descrevem o mesmo facto pelas duas pontas. Usada como controlo aritmético a diferença nunca conta, pois os dois lados da comparação usam a mesma convenção; metida numa fórmula que espera um resto, conta, e o nove tem de ser trazido de volta a zero. Manter as duas ideias separadas é aqui toda a dificuldade.

Pode o controlo passar com uma resposta errada?

Com regularidade — deixa passar cerca de uma resposta errada em cada nove, porque um erro que calhe ser múltiplo de nove não muda a raiz. Trocar dois algarismos é a maneira mais comum de isso acontecer, já que a diferença entre os dois números é sempre múltipla de nove, mas qualquer deslize de nove, noventa ou novecentos faz o mesmo. O controlo é portanto unilateral: uma falha prova um erro, uma aprovação nada prova. Essa assimetria merece ser dita com clareza, porque um teste que apanha oito erros em nove parece muito mais conclusivo do que é quando volta limpo.