Der Satz des Pythagoras erklärt

Die Formel

Der Satz verbindet die drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks — eines mit einer perfekten 90°-Ecke. Nenne die zwei kürzeren Seiten (die Katheten) a und b, und die längste (die Hypotenuse, immer dem rechten Winkel gegenüber) c. Die Regel ist a² + b² = c²: quadriere jede Kathete, addiere sie, und du hast das Quadrat der Hypotenuse. Es ist eine der ältesten und nützlichsten Tatsachen der ganzen Geometrie.

Ein Beispiel

Nimm ein Dreieck mit Katheten 3 und 4. Quadriere sie — 9 und 16 — und addiere zu 25, das ist c². Die Hypotenuse ist die Quadratwurzel von 25, also c = 5. Dieses „3-4-5“-Dreieck ist das berühmteste Beispiel, weil die Seiten ganzzahlig herauskommen. Ein weiteres gängiges ist 5-12-13: 25 + 144 = 169, und √169 = 13. Diese sauberen Sätze heißen pythagoreische Tripel.

Eine Kathete finden, nicht nur die Hypotenuse

Der Satz funktioniert auch rückwärts. Kennst du die Hypotenuse und eine Kathete, forme um zu b² = c² − a²: subtrahiere statt zu addieren, dann ziehe die Quadratwurzel. Eine 5 m lange Leiter mit dem Fuß 3 m von der Wand erreicht eine Höhe von √(25 − 9) = √16 = 4 m. Hast du irgendzwei der drei Seiten, findet diese umgestellte Form die fehlende.

Wo er genutzt wird

Weit entfernt von einer abstrakten Schulweisheit ist dieser Satz überall. Bauleute nutzen den 3-4-5-Trick, um zu prüfen, ob eine Ecke ein echter rechter Winkel ist. Er gibt den geraden Abstand zwischen zwei Punkten aus ihren horizontalen und vertikalen Differenzen — Grundlage der Abstandsformel, der Navigation und der Computergrafik. Er erklärt sogar Bildschirmgrößen: ein „27-Zoll“-Monitor ist die Diagonale, aus Breite und Höhe mit genau dieser Regel berechnet.

Häufige Fragen

Was ist der Satz des Pythagoras?

In einem rechtwinkligen Dreieck gilt a² + b² = c², wobei c die Hypotenuse ist.

Wie finde ich die Hypotenuse?

Quadriere die zwei kürzeren Seiten, addiere sie und ziehe die Quadratwurzel.

Gilt er für jedes Dreieck?

Nein, nur rechtwinklige Dreiecke.