Ein Kegel ist genau ein Drittel seines Zylinders

Die Oberfläche nutzt die Mantellinie, nicht die Höhe

Die Mantelseite eines Kegels ist länger, als der Kegel hoch ist, weil sie nach außen neigt. Ihre Länge ist √(r² + h²), hier √125 = 11,18 gegen eine Höhe von 10. Die Mantelfläche ist π × r × diese Mantellinie, also 175,6; mit der Grundkreisfläche von 78,5 ergibt das die vom Werkzeug gemeldeten 254,2. Versehentlich die Höhe zu nehmen ergibt 157,1 für den Mantel — 10,6 % zu wenig, ein Fehler, der sich als Materialmangel zeigt, wenn ein Kegel aus Blech geschnitten oder gestrichen wird. Sooft eine Kegel- oder Pyramidenformel die Oberfläche und nicht den Inhalt betrifft, prüfe, ob sie die Mantellinie will.

Ein Schüttguthaufen wählt seine Höhe selbst

Kies, Sand und Getreide, auf ebenen Boden geschüttet, bilden keinen beliebigen Kegel: Die Flanken stellen sich auf die steilste Neigung ein, die das Material trägt, und dieser Winkel hängt vom Stoff und seiner Feuchte ab. Grundradius und Höhe sind daher nicht unabhängig — schütte mehr desselben Materials auf, und der Haufen wird beim Wachsen breiter und behält die Neigung. Einen Lagerhaufen aus Radius und geratener Höhe zu schätzen geht deshalb meist daneben; die Höhe direkt zu messen oder Umfang und Neigung zu nehmen liefert eine brauchbare Zahl. Veröffentlichte Winkel schwanken stark zwischen Materialien und mit der Feuchte — miss den Haufen vor dir, statt einen nachzuschlagen.

Häufige Fragen

Warum ein Drittel und nicht die Hälfte?

Weil der Kegel beim Aufsteigen in zwei Dimensionen zugleich schmaler wird, nicht in einer. Auf halber Höhe ist der Querschnitt nicht die halbe Grundfläche, sondern ein Viertel davon, da sich Breite und Tiefe beide halbiert haben. Diese schrumpfenden Scheiben aufzusummieren ergibt ein Drittel statt der Hälfte, die eine linear schmaler werdende Form ergäbe — ein Dreieck, das nur in einer Dimension schmaler wird, ist tatsächlich die Hälfte seines Rechtecks. Dieselbe Überlegung erklärt, warum eine Kugel zwei Drittel des sie gerade umschließenden Zylinders ist und warum der Exponent einer Volumenformel stets um eins über dem der entsprechenden Flächenformel liegt.

Wie berechne ich einen Kegelstumpf?

Nimm den ganzen Kegel, der die Form gewesen wäre, und ziehe den oben abgeschnittenen kleinen Kegel ab. Die Flanken bis zum Schnittpunkt zu verlängern gibt die volle Höhe, der ganze Kegel wird wie üblich gerechnet, und die entfernte Spitze ist ein kleinerer Kegel gleicher Neigung. Genau das ist die Arithmetik eines Eimers, eines Blumentopfs und eines Kühlturms — und der Grund, warum die doppelte Tiefe eines konischen Topfs weit mehr als die doppelte Erde aufnimmt: Der größte Teil des Mehrvolumens liegt oben im weiten Bereich.