Una sola fórmula cubre la esfera, el huevo y el planeta

Estirar un eje estira el volumen en la misma proporción

Como los tres semiejes se multiplican, cada uno interviene linealmente en la respuesta: hacer una forma la mitad de larga en una dirección parte el volumen por la mitad, y hacerlo en las tres direcciones lo divide por ocho. Es una relación más suave que la ley del cubo que rige el escalado de un objeto entero, y por eso el elipsoide es el modelo natural en cuanto algo está achatado en una sola dirección — un glóbulo rojo, una lente, un planeta aplastado. También significa que los tres números se reordenan libremente: 5, 3, 4 y 3, 4, 5 describen formas orientadas de otro modo con volúmenes idénticos, lo que a veces sirve para comprobar que un dato no se metió en la casilla equivocada.

Por qué un planeta no es una esfera

La rotación lanza material hacia fuera en el ecuador y no en los polos, así que cualquier cuerpo fluido en rotación se asienta como un elipsoide achatado. El achatamiento de la Tierra es pequeño — en torno a una parte entre 298, o veintiún kilómetros de diferencia entre ambos radios — y basta para importar en navegación, en órbitas de satélites y en la definición de los sistemas de coordenadas que usa cualquier mapa, construidos sobre un elipsoide de referencia y no sobre una esfera. Júpiter, que gira en menos de diez horas, se ve achatado en un telescopio pequeño. La regla es general: cuanto más rápido el giro y menos rígido el cuerpo, más lejos de la esfera se asienta.

Preguntas frecuentes

¿Es igual de simple el área de la superficie?

Ni de lejos. El volumen tiene una fórmula elemental exacta y el área de un elipsoide general no — necesita integrales elípticas, y las cifras que se citan vienen de aproximaciones y no de una expresión exacta. El área que da la herramienta es una de esas aproximaciones, exacta a una fracción de por ciento para formas que no sean extremadamente alargadas: suficiente para cualquier uso práctico, no para darla con cinco cifras. La esfera es el caso particular donde todo sale limpio, y es una de las razones por las que tanta física se hace sobre esferas.

¿Cómo mido los semiejes de un objeto real?

Toma las tres anchuras mayores perpendiculares entre sí y parte cada una por la mitad. Un calibre lo hace bien; una cinta métrica no, porque sigue la superficie en vez de atravesarla, y la diferencia en un objeto redondeado es justo el error que se quería evitar. El resultado solo vale lo que valga la hipótesis de que el objeto es de verdad un elipsoide — un huevo claramente no lo es, al ser más ancho por un extremo, así que tratarlo como forma simétrica sobrestima algo el volumen. Cuando la exactitud importa más que la comodidad, desplazar agua mide el volumen directamente y se salta toda la geometría.