La preuve par neuf ne voit pas deux chiffres intervertis

Pourquoi neuf et pas un autre nombre

Parce que dix laisse un reste de un dans la division par neuf, et toute puissance de dix aussi. Un chiffre en colonne des centaines apporte donc le même reste que ce chiffre isolé, et le reste du nombre entier s'effondre en la somme de ses chiffres. L'astuce est donc une propriété de l'écriture en base dix, non des nombres eux-mêmes : en base seize, le même raisonnement fait de quinze le nombre magique, et en base deux de un. Trois hérite de la propriété parce qu'il divise neuf, d'où le fait que la somme des chiffres teste aussi la divisibilité par trois.

Ce qu'une vraie clé de contrôle fait autrement

Les interversions comptent parmi les erreurs les plus fréquentes lorsqu'on recopie un nombre : tout dispositif qui les ignore est impropre aux numéros de compte, aux codes-barres et aux identifiants. Le remède est de multiplier chaque position par un poids différent avant d'additionner, ce qui rend la somme dépendante de l'ordre : la clé d'un numéro de compte bancaire, celle de l'identifiant d'un livre et celle d'une carte de paiement font toutes cela, ne différant guère que par les poids et le module. La preuve par neuf survit comme contrôle de calcul mental, où sa faiblesse pèse moins que le fait qu'elle se fait de tête en deux secondes.

Questions fréquentes

Pourquoi la racine numérique de 123456789 vaut-elle neuf et non zéro ?

Parce que la racine numérique est définie pour rester entre un et neuf : un multiple de neuf reçoit donc neuf et non zéro. Son reste dans la division par neuf vaut bien zéro, et les deux conventions décrivent le même fait par les deux bouts. Employée comme contrôle arithmétique, la différence ne compte jamais, les deux côtés de la comparaison usant de la même convention ; injectée dans une formule qui attend un reste, elle compte, et neuf doit être ramené à zéro. Garder les deux idées distinctes est ici toute la difficulté.

Le contrôle peut-il passer sur une réponse fausse ?

Régulièrement — il laisse passer environ une réponse fausse sur neuf, car une erreur qui se trouve être un multiple de neuf ne change pas la racine. Intervertir deux chiffres est la manière la plus courante d'y arriver, la différence entre les deux nombres étant toujours un multiple de neuf, mais toute erreur de neuf, quatre-vingt-dix ou neuf cents fait pareil. Le contrôle est donc unilatéral : un échec prouve une faute, une réussite ne prouve rien. Cette asymétrie mérite d'être dite franchement, car un test qui attrape huit erreurs sur neuf paraît bien plus concluant qu'il ne l'est quand il revient propre.