Soixante mètres de clôture enferment d'autant plus de terrain qu'ils sont ronds

Pourquoi l'hexagone l'emporte en pratique

Le cercle est la meilleure forme pour un enclos et une mauvaise pour beaucoup, car des cercles ne se rangent pas sans laisser de vides. Parmi les formes qui pavent le plan sans perte — triangle, carré, hexagone — l'hexagone est le plus rond, et il enferme donc le plus d'aire par unité de paroi partagée. C'est l'argument derrière la ruche, derrière les pavés hexagonaux, derrière la maille d'un grillage de jardin, et derrière les boulons à six pans, dont les six méplats offrent plus de prise à une clé que quatre n'en donneraient tout en gardant une tête compacte. Quand un projet ne comporte qu'une limite, vise le rond ; quand il comporte des cellules répétées, vise l'hexagone.

Rendements décroissants au-delà de huit côtés environ

Les premiers côtés font presque tout le travail. Passer de trois à quatre achète dix-huit points de l'aire du cercle, de quatre à six douze, de six à douze sept, et tout ce qui suit le douze achète les deux derniers et des poussières. Comme chaque côté supplémentaire coûte un poteau, une coupe et un assemblage, le rendement de la complexité s'effondre bien avant la géométrie — d'où des enclos réels carrés quand le matériau est bon marché, hexagonaux ou octogonaux quand il ne l'est pas, et presque jamais à vingt côtés. Le même raisonnement réapparaît partout où une courbe est approchée par des segments droits, d'une bordure de jardin à un arc tracé sur un écran.

Questions fréquentes

Le cercle est-il vraiment la meilleure forme possible ?

Oui, et c'est un théorème, non une observation. Parmi toutes les courbes fermées d'une longueur donnée, le cercle enferme la plus grande aire — l'inégalité isopérimétrique, démontrée au dix-neuvième siècle après avoir été soupçonnée depuis l'Antiquité. Aucune forme irrégulière, si astucieuse soit-elle, ne la bat, et aucun polygone ne l'atteint. Le résultat se lit aussi à l'envers : pour une aire donnée, le cercle a le plus court contour, ce qui explique qu'une bulle de savon soit ronde et que tout ce qui minimise la surface à contenu fixé finisse sphérique.

Et si le terrain ne peut pas prendre n'importe quelle forme ?

Alors la contrainte l'emporte d'ordinaire sur la géométrie, et il vaut mieux le dire. Une limite qui doit suivre un mur existant, un droit de passage ou une ligne cadastrale droite retire le choix, et une forme qui gaspille de l'aire sur le papier peut être la seule qui rentre. Le calcul reste utile comme plafond : il dit ce que la même longueur de clôture aurait pu enfermer, chiffre à mettre en face du coût de l'alternative. Quand un côté est un mur existant, le problème change entièrement de forme — avec trois côtés de clôture contre un mur droit, le meilleur rectangle est deux fois plus large que profond, et cela mérite d'être vérifié avant de couper quoi que ce soit.