Come calcolare la pendenza di una retta: dislivello su avanzamento

Dislivello su avanzamento, passo dopo passo

La pendenza risponde a una domanda semplice: avanzando lungo la retta verso destra, di quanto sale o scende? Il dislivello è la variazione verticale e l'avanzamento la variazione orizzontale, e il loro rapporto è la pendenza. Poiché una retta ha un'inclinazione costante, due punti qualsiasi danno sempre lo stesso numero.

L'unica regola da rispettare è l'ordine: sottrai le coordinate nello stesso verso sopra e sotto. Per (1, 2) e (4, 8), fare (8 − 2) / (4 − 1) = 2 è corretto, e anche (2 − 8) / (1 − 4) = −6 / −3 = 2. Ciò che rovina tutto è mescolare l'ordine — (8 − 2) / (1 − 4) = 6 / −3 = −2 — che inverte il segno e dà un risultato sbagliato.

Cosa significa il segno della pendenza

Una pendenza positiva: la retta sale da sinistra a destra, come una salita. Una pendenza negativa: scende. Maggiore è il valore assoluto, più ripida è la retta: una pendenza di 5 è molto più ripida di 0,5, e una di −3 scende bruscamente. Il segno dà la direzione e la grandezza l'inclinazione.

Due casi speciali spiccano. Una retta orizzontale ha pendenza zero: non sale mai, il dislivello è 0 e 0 diviso per qualsiasi avanzamento è 0. Una retta verticale ha pendenza indefinita: l'avanzamento è 0, e dividere per zero non è consentito, quindi la pendenza non esiste. Questi due estremi racchiudono ogni altra retta.

La pendenza nell'equazione della retta e nella vita reale

La pendenza è la m nell'equazione y = mx + b, dove b è l'intercetta all'origine, il punto in cui la retta interseca l'asse verticale. Una volta nota la pendenza da due punti, sostituisci uno di essi in y = mx + b per trovare b e hai l'equazione completa. Da lì puoi prevedere il valore y per ogni x.

L'idea compare ovunque fuori dall'aula. La pendenza di una strada si esprime in percentuale, un'inclinazione del 6% sale di 6 metri ogni 100 percorsi. Una rampa per sedia a rotelle da 1 a 12 sale di un'unità ogni 12 di lunghezza. In un grafico distanza-tempo, la pendenza è la velocità. La pendenza trasforma l'immagine di una retta in un tasso utilizzabile.

Domande frequenti

Conta quale chiamo punto 1?

No, purché tu sia coerente. Qualunque punto nomini per primo, usa le sue coordinate per prime sopra e sotto la frazione. Se sottrai i valori y in un ordine e gli x nell'altro, inverti il segno e ottieni una pendenza sbagliata.

Qual è la pendenza di una retta orizzontale?

Zero. Una retta orizzontale non sale né scende, quindi y₂ − y₁ = 0, e zero diviso per qualsiasi avanzamento non nullo è zero. La sua equazione è semplicemente y = b, una costante. È diverso da una retta verticale, la cui pendenza è indefinita.

Come converto una pendenza in percentuale?

Moltiplica la pendenza per 100. Una pendenza di 0,06 è un'inclinazione del 6%, cioè 6 unità di dislivello per 100 di distanza orizzontale. Così segnali e rampe esprimono l'inclinazione, semplicemente il rapporto dislivello/avanzamento in scala.

Come sono legate le pendenze di rette parallele e perpendicolari?

Le rette parallele hanno pendenze uguali, poiché salgono allo stesso ritmo. Le rette perpendicolari hanno pendenze antireciproche: moltiplicandole si ottiene −1. Così una retta di pendenza 2 è perpendicolare a una di pendenza −1/2.