Come trovare la distanza tra due punti

Perché la formula è in realtà Pitagora

Disegna due punti, traccia un'orizzontale da uno e una verticale dall'altro. Si incontrano ad angolo retto e formano un triangolo rettangolo i cui cateti sono la differenza orizzontale (x₂−x₁) e quella verticale (y₂−y₁). La distanza in linea retta tra i punti è l'ipotenusa di quel triangolo.

Pitagora dice cateto² + cateto² = ipotenusa², quindi (x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² = d². Estraendo la radice quadrata di entrambi i lati si ottiene d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²). È tutta la formula — nulla da memorizzare che il triangolo non spieghi già, ed è per questo che si estende a tre dimensioni aggiungendo un termine (z₂−z₁)².

Un esempio svolto dall'inizio alla fine

Prendi i punti A = (1, 2) e B = (4, 6). La differenza orizzontale è x₂−x₁ = 4−1 = 3 e quella verticale y₂−y₁ = 6−2 = 4. Al quadrato: 3² = 9 e 4² = 16. La loro somma è 25, e √25 = 5, quindi A e B distano esattamente 5 unità.

Il punto medio di A e B — il punto a metà del segmento — fa la media delle coordinate: ((1+4)/2, (2+6)/2) = (2,5, 4). Verifica: la distanza da A al punto medio è √(1,5² + 2²) = √(2,25 + 4) = √6,25 = 2,5, la metà di 5, esattamente come dovrebbe essere.

Errori comuni e controlli rapidi

L'errore più comune è elevare al quadrato prima di sottrarre — scrivere x₂² − x₁² invece di (x₂−x₁)². Non sono uguali, ed è la seconda forma che la formula richiede. Calcola sempre prima la differenza e poi elevala al quadrato. Una differenza negativa non è un problema: il quadrato la rende positiva, per questo scambiare i punti dà lo stesso risultato.

Per un controllo rapido, la distanza non può mai essere minore della differenza orizzontale o verticale presa da sola — l'ipotenusa è sempre il lato più lungo. Se il risultato nell'esempio sopra viene minore di 3, hai commesso un errore di calcolo. E se entrambi i punti condividono la x o la y, la formula si riduce a una semplice sottrazione, utile per verificare l'impostazione.

Domande frequenti

Importa quale punto chiamo per primo?

No. Poiché ogni differenza viene elevata al quadrato, (x₂−x₁)² = (x₁−x₂)², quindi scambiare i punti dà esattamente la stessa distanza. Scegli l'ordine più facile da sottrarre.

Come trovo il punto medio tra due punti?

Fai la media delle coordinate: il punto medio è ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2). Per (1, 2) e (4, 6) è (2,5, 4). Il punto medio si trova sempre sulla retta che unisce i due punti.

La formula funziona in tre dimensioni?

Sì. Aggiungi una terza differenza al quadrato per l'asse z: d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²). La stessa idea di Pitagora si estende a qualsiasi numero di dimensioni aggiungendo un termine al quadrato per asse.

La distanza può essere negativa?

No. Una distanza è una lunghezza, e la radice quadrata nella formula restituisce il valore non negativo. È zero solo quando i due punti coincidono, e positiva altrimenti.