Dividere le persone in gruppi equi: casuale ed equo non sono lo stesso requisito

L'aritmetica che nessuno fa per prima

Chiedi 23 persone in gruppi da quattro e qualcosa deve cedere, perché 23 diviso 4 fa 5 con resto 3. Ci sono esattamente tre politiche sensate. Riempire i gruppi alla dimensione obiettivo e lasciare corto l'ultimo: 4, 4, 4, 4, 4, 3. Tenere i cinque gruppi pieni e distribuirvi i tre avanzati: 5, 5, 5, 4, 4. Oppure arrotondare a sei il numero di gruppi e bilanciare su tutti e sei: 4, 4, 4, 4, 4, 3. La prima e la terza danno qui le stesse dimensioni, cosa che sorprende chi presume che tre politiche significhino tre risposte.

Cambia leggermente i numeri e si separano. 23 persone a cinque danno 5, 5, 5, 5, 3 con la prima politica, 6, 6, 6, 5 con la seconda e 5, 5, 5, 4, 4 con la terza — tre esiti davvero diversi, e il primo lascia un gruppo più piccolo del 40 % rispetto ai vicini. 30 persone a quattro è peggio: la politica A produce sette quartetti e una coppia, due di scarto fra il gruppo più grande e il più piccolo, mentre le altre due tengono lo scarto a uno. La lezione è che l'approccio ingenuo del riempi-e-tronca è l'unico che può lasciare un gruppo gravemente isolato, ed è anche quello che la maggior parte degli strumenti applica di default.

Il caso può essere spettacolarmente ingiusto

Prendi 24 persone classificate da 1 a 24 per livello e dividile uniformemente a caso in sei gruppi da quattro. Valuta ogni gruppo con la somma delle posizioni dei suoi membri: il gruppo medio somma 50, e una buona suddivisione tiene tutti vicino a quel valore. Non lo fa. La varianza della somma di un gruppo è 4 × ((24² − 1)/12) × (24 − 4)/(24 − 1) = 166,67, quindi la deviazione standard è 12,91. L'intervallo raggiungibile va da 10, se le posizioni da 1 a 4 finiscono insieme, fino a 90. Quell'estremo è raro — la probabilità che i primi quattro condividano un gruppo è (3/23)(2/22)(1/21), una su 1 771 — ma i quasi-estremi non sono affatto rari.

Simulare 200 000 suddivisioni casuali ha reso concreto il caso quotidiano. Il divario fra il gruppo più forte e il più debole, misurato come differenza fra somme di posizione, è stato in media 36,04 e ha toccato 77 nel caso peggiore. Nel 20,97 % delle suddivisioni — più di una su cinque — qualche gruppo teneva tre o più delle sei persone migliori. Non è un evento anomalo da liquidare: è ciò che accade una sessione su cinque, ed è esattamente ciò che i partecipanti notano e contestano. Il caso ti dà l'assenza di favoritismi, una proprietà reale e utile, ma non ti dà l'equilibrio — e nessuno che chiedesse gruppi equi intendeva la prima.

Assegnazione stratificata: sempre casuale, ma limitata

La correzione consiste nello smettere di mescolare l'intera lista. Ordina per livello, taglia la classifica in tanti strati quante sono le persone per gruppo — per 24 persone in gruppi da quattro sono quattro strati da sei — mescola dentro ciascuno strato e distribuisci una persona da ognuno in ogni gruppo. Ogni gruppo tiene allora esattamente una delle posizioni da 1 a 6, una da 7 a 12, una da 13 a 18 e una da 19 a 24. Dentro uno strato l'assegnazione resta uniformemente casuale, quindi nessuno può prevedere o influenzare dove finisce; fra strati, la composizione è fissata.

Il miglioramento non è qualitativo, è misurabile. La varianza della somma di un gruppo scende da 166,67 a 4 × ((6² − 1)/12) = 11,67, quindi la deviazione standard cala da 12,91 a 3,42 — un fattore di 3,78. L'intervallo raggiungibile si restringe da 10-90 a 40-60, perché la più piccola somma stratificata possibile è 1 + 7 + 13 + 19 = 40 e la più grande 6 + 12 + 18 + 24 = 60. Nelle stesse 200 000 simulazioni il divario medio fra gruppo più forte e più debole è sceso da 36,04 a 9,52, il caso peggiore da 77 a 20, e la frazione di suddivisioni in cui qualche gruppo teneva tre o più dei sei migliori è passata dal 20,97 % a zero — non rara, impossibile, perché ogni gruppo riceve per costruzione esattamente un membro dello strato di testa.

Gli accoppiamenti ripetuti arrivano prima di quanto credi

Fai girare lo stesso generatore di gruppi settimana dopo settimana e le persone iniziano a notare che capitano sempre con gli stessi compagni. L'aritmetica lo spiega. In un singolo turno di n persone in gruppi di dimensione s, la probabilità che due persone specifiche condividano un gruppo è (s − 1)/(n − 1) — per 24 persone a quattro è 3/23, circa il 13,0 %. Su r turni il numero atteso di incontri di una data coppia è r × 3/23, e la probabilità che si incontrino due o più volte segue dalla binomiale: 1,70 % dopo due turni, 4,66 % dopo tre, 8,52 % dopo quattro, 12,99 % dopo cinque.

Quelle percentuali sembrano piccole finché non le moltiplichi per il numero di coppie. Con 24 persone ci sono C(24,2) = 276 coppie, quindi dopo cinque turni casuali indipendenti ci si aspettano circa 36 coppie che si sono incontrate almeno due volte, e dopo otto turni circa 78 — più di un quarto di tutti. Randomizzare in modo indipendente ogni settimana è dunque l'impostazione predefinita sbagliata per una sessione ricorrente. Quel che serve è un calendario che ricordi quali coppie si sono già incontrate ed eviti di ripeterle, il che è un problema completamente diverso e molto più difficile.

Calendari di rotazione, e perché sono davvero difficili

La forma generale ha un nome — il problema del golfista sociale — e un limite superiore semplice che puoi ricavare in una riga. In ogni turno una persona incontra s − 1 altre, e ci sono solo n − 1 altre persone, quindi nessun calendario può durare più della parte intera di (n − 1)/(s − 1) turni senza ripetere una coppia. Per 24 persone a quattro è 23/3, dunque al massimo 7 turni. Per 32 a quattro è 31/3, al massimo 10. Per 9 persone a tre è 8/2, al massimo 4. Il limite è facile; raggiungerlo no, e per molte combinazioni di n e s resta una questione aperta se un calendario perfetto esista del tutto.

Dove i numeri sono gentili, un calendario perfetto si costruisce invece di cercarlo. Nove giocatori in gruppi da tre è uno di questi casi: etichetta i giocatori con le nove celle di una griglia 3 × 3 e prendi come quattro turni le righe, le colonne e le due famiglie di diagonali spezzate. Costruire quel calendario e verificarlo ha dato ADG / BEH / CFI, poi ABC / DEF / GHI, poi AFH / BDI / CEG, poi AEI / CDH / BFG — quattro turni che coprono tutte le C(9,2) = 36 coppie esattamente una volta, con zero ripetizioni. Il limite raggiunto. Per dimensioni senza una costruzione del genere, la regola pratica è tenere traccia degli accoppiamenti passati e far rifiutare al tuo generatore una suddivisione che ne ripeta troppi; riprovare qualche centinaio di suddivisioni candidate e scegliere quella con meno ripetizioni dà quasi tutto il beneficio senza alcuna teoria.

Scegliere una politica prima della sessione, non durante

Tre decisioni risolvono quasi ogni discussione sui gruppi, e tutte e tre costano meno se prese in anticipo. Primo, fissa la politica di resto: se un gruppo corto risulta scomodo — un dibattito, un gioco di carte, una scala di doppio — usa la politica che distribuisce il resto invece di quella che lo abbandona. Secondo, decidi se la suddivisione debba essere bilanciata su qualcosa. Se sì, nomina a voce alta la variabile di ordinamento, perché la stratificazione richiede un ordine, e un ordine non dichiarato lo fornirà chi usa lo strumento. Terzo, decidi se la sessione si ripete; se sì, tieni lo storico dal primo turno invece di ricostruirlo dopo.

Un'avvertenza sulla stratificazione: è uno strumento potente e può servire a difendere una classifica sbagliata. Bilanciare su una variabile misurata e concordata — un punteggio, un voto, un livello assegnato dai partecipanti stessi — è difendibile. Bilanciare su una variabile che qualcuno ha improvvisato è solo una mano nascosta travestita da aritmetica. Il metodo stratificato è onesto proprio perché l'ordine che usa è visibile; se non puoi mostrare l'ordine, fai la suddivisione puramente casuale e accetta la varianza, perché un equilibrio non verificabile è peggio di uno squilibrio visibile.

Domande frequenti

Come si dividono 23 persone in gruppi da quattro?

Ci sono due risposte distinte, non tre. 23 = 5 × 4 + 3, quindi puoi avere sei gruppi da 4, 4, 4, 4, 4, 3, oppure cinque gruppi da 5, 5, 5, 4, 4. La terza politica che di solito si nomina — arrotondare per eccesso il numero di gruppi e bilanciare — dà 4, 4, 4, 4, 4, 3, cioè di nuovo la prima risposta, perché 23 distribuito su sei gruppi fa 3 con resto 5 e ricade sullo stesso multiinsieme. Scegli per conseguenza e non per principio: se l'attività funziona male in tre, usa la versione a cinque gruppi; se un gruppo da cinque è ingombrante, usa quella a sei. Nota che non c'è modo di ottenere un singolo gruppo da cinque con tutti gli altri a quattro, perché 23 − 5 = 18 e 18 non è multiplo di 4.

Una suddivisione stratificata è ancora casuale?

Sì, dentro ciascuno strato, ed è questa la proprietà che conta per l'equità del procedimento. Se tagli una classifica di 24 persone in quattro strati da sei e mescoli ogni strato prima di distribuire, ogni persona dei primi sei ha esattamente la stessa probabilità di finire in ciascuno dei sei gruppi. Nessuno è favorito, nessuno può prevedere la propria collocazione e nessuno può influenzarla. Ciò che non è più casuale è il profilo di composizione: ogni gruppo ha garantito un membro per strato. Quel vincolo è ciò che porta la deviazione standard della forza del gruppo da 12,91 a 3,42 e limita le somme possibili all'intervallo 40-60 invece di 10-90. Stai cedendo esiti che non volevi in cambio di una garanzia che volevi.

Quanto spesso le stesse due persone finiscono insieme?

In un singolo turno è (s − 1)/(n − 1): con 24 persone in gruppi da quattro, 3/23, cioè il 13,0 %. Su turni indipendenti ripetuti si accumula. La probabilità che una data coppia si incontri almeno due volte è dell'1,70 % dopo due turni, 4,66 % dopo tre, 8,52 % dopo quattro e 12,99 % dopo cinque. Moltiplica per il numero di coppie e il quadro cambia natura: 24 persone formano 276 coppie, quindi cinque turni di randomizzazione indipendente dovrebbero produrre circa 36 accoppiamenti ripetuti, e otto turni circa 78. Se le ripetizioni ti interessano, non ri-randomizzare da zero a ogni sessione — tieni lo storico e fai rifiutare al generatore le suddivisioni che ripetono troppi accoppiamenti passati. Un calendario perfetto senza ripetizioni non può durare più della parte intera di (n − 1)/(s − 1) turni, cioè 7 per 24 persone a quattro.

Posso costruire un calendario in cui nessuno ripeta mai un compagno?

A volte, e c'è un tetto rigido su quanto può durare. A ogni turno una persona incontra s − 1 altre fra n − 1 candidati, quindi il calendario non può superare la parte intera di (n − 1)/(s − 1) turni — 4 turni per 9 persone a tre, 7 per 24 a quattro, 10 per 32 a quattro. Raggiungere il tetto richiede un disegno combinatorio, e ne esiste uno per il caso a nove giocatori: etichetta i giocatori come le celle di una griglia 3 × 3 e prendi le righe, le colonne e le due famiglie di diagonali come i tuoi quattro turni. Costruito e verificato, dà ADG / BEH / CFI, ABC / DEF / GHI, AFH / BDI / CEG, AEI / CDH / BFG, coprendo tutte le 36 coppie esattamente una volta. Per la maggior parte delle altre dimensioni non si conosce una costruzione simile, il problema è il ben noto problema del golfista sociale, e la risposta pratica è una ricerca: generare suddivisioni candidate, valutarle per quanti accoppiamenti passati ripetono e tenere la migliore.

E se non ho alcuna classifica su cui stratificare?

Allora usa la suddivisione puramente casuale e dichiara esplicitamente che i gruppi sono sbilanciati per costruzione. La stratificazione richiede un ordine, e inventarne uno sul momento è peggio che non averlo — converte l'opinione dell'organizzatore in qualcosa che sembra aritmetica. Se ti serve un ordine difendibile, prendine uno che esista già e che i partecipanti possano vedere: un punteggio da sessioni precedenti, un voto di valutazione, un livello autodichiarato, l'anzianità, o l'esito di un breve turno di qualificazione. Se nulla di tutto ciò è disponibile o accettabile, accetta la varianza: con 24 persone in sei gruppi da quattro, la deviazione standard della forza del gruppo è 12,91 invece di 3,42, e circa una suddivisione su cinque metterà insieme tre o più dei sei migliori. Annuncialo come il costo noto di un sorteggio non stratificato, invece di scoprirlo davanti alla sala.