Le probabilità delle mani di poker, ricavate invece che imparate a memoria

Tutto è una fetta di 2 598 960

Una mano di cinque carte da un mazzo di 52 è una selezione non ordinata, quindi il loro numero è C(52,5) = (52 × 51 × 50 × 49 × 48) / (5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 311 875 200 / 120 = 2 598 960. Ogni probabilità nel poker è un sottoinsieme di quelle mani diviso quel totale, e ogni sottoinsieme si conta con la stessa ricetta: scegliere i valori, scegliere i semi, moltiplicare. In tutto l'articolo non serve nulla oltre alla moltiplicazione e al coefficiente binomiale.

Due dei conteggi sono banali e conviene farli per primi, perché fissano lo schema. Una scala reale sono cinque carte in sequenza dello stesso seme: ci sono dieci sequenze possibili, da A-2-3-4-5 fino a 10-J-Q-K-A, e quattro semi, quindi 10 × 4 = 40. Un poker sono le quattro carte di un valore più una quinta qualunque: 13 valori × 48 carte restanti = 624. Nota che entrambi i conteggi sono esatti e completi da soli; non c'è nulla da sottrarre, perché una mano non può essere scala reale in due modi né poker in due modi.

I sette che richiedono un po' di cura

Un full è un valore in triplo e un altro in doppio: 13 scelte per il tris, C(4,3) = 4 modi di sceglierne i semi, 12 valori restanti per la coppia, C(4,2) = 6 modi di sceglierne i semi. 13 × 4 × 12 × 6 = 3 744. Qui l'ordine conta — tre del valore A con due del valore B è una mano diversa da tre di B con due di A, ed è per questo che il fattore è 13 × 12 e non C(13,2). Il tris prolunga la stessa idea: 13 valori × C(4,3) semi per il tris, poi C(12,2) = 66 modi di scegliere due valori di kicker distinti e 4 × 4 semi per loro, dando 13 × 4 × 66 × 16 = 54 912. I kicker devono avere valori distinti, altrimenti la mano sarebbe un full.

La doppia coppia usa C(13,2) = 78 per i valori delle coppie, perché qui le due coppie sono intercambiabili, per C(4,2)^2 = 36 per i loro semi, per 44 per la quinta carta — 52 meno le 8 carte dei due valori scelti. 78 × 36 × 44 = 123 552. La coppia semplice è 13 valori × C(4,2) = 6 coppie di semi × C(12,3) = 220 valori di kicker × 4^3 = 64 semi di kicker = 1 098 240. La carta alta è tutto il resto: scegliere cinque valori distinti che non formino una scala, C(13,5) − 10 = 1 277, poi qualsiasi schema di semi che non sia monocolore, 4^5 − 4 = 1 020, dando 1 277 × 1 020 = 1 302 540. Quell'ultima riga sottrae in silenzio entrambe le esclusioni in un colpo solo.

Le due esclusioni e la scala bassa

Quattro carte di un seme e una quinta dello stesso danno 4 × C(13,5) = 5 148 mani monocolore, ma 40 di quelle sono anche scale reali e verrebbero contate due volte. Sottraile e il conteggio dei colori è 5 108. La scala ha il problema speculare: 10 sequenze di valori, ogni carta libera di assumere uno dei 4 semi, danno 10 × 4^5 = 10 240, di cui le stesse 40 sono scale reali, lasciando 10 200. Salta una delle due sottrazioni e i tuoi nove conteggi sommano 2 599 040 — ottanta di troppo — ed è esattamente così che acchiappi l'errore senza sapere dove sia.

Il numero dieci merita una frase a sé. Ci sono tredici valori, quindi un conteggio ingenuo delle sequenze di cinque dà nove sequenze, da 2-3-4-5-6 fino a 10-J-Q-K-A. Ma l'asso gioca sia basso sia alto, quindi A-2-3-4-5 — la scala bassa — è una decima scala valida, mentre Q-K-A-2-3, che gira attorno al mazzo, non è affatto una scala. Sbaglia verso il basso e il conteggio delle scale scende a 9 180 invece di 10 200; permetti il giro e sale a 13 260. Entrambi gli errori compaiono subito nella somma, ed è per questo che la somma vale la pena calcolarla.

La somma è la prova

40 + 624 + 3 744 + 5 108 + 10 200 + 54 912 + 123 552 + 1 098 240 + 1 302 540 = 2 598 960. Non approssimativamente — esattamente. Quell'uguaglianza è la verifica più forte disponibile, perché i nove argomenti sono stati costruiti indipendentemente l'uno dall'altro e dal totale. Se uno di essi contasse due volte una mano, saltasse un caso o applicasse il coefficiente binomiale sbagliato, la somma mancherebbe. Non manca, il che significa che le nove categorie partizionano tutte le mani di cinque carte senza sovrapposizioni né buchi. Ogni tabella pubblicata che non chiuda su questa identità contiene un errore da qualche parte, ed è così che lo si scopre in dieci secondi.

Come seconda verifica indipendente, tutte le 2 598 960 mani sono state enumerate in codice e classificate una per una. Il programma ha restituito 40, 624, 3 744, 5 108, 10 200, 54 912, 123 552, 1 098 240 e 1 302 540 — gli stessi nove numeri prodotti dall'algebra — e ha inoltre confermato di aver visitato esattamente C(52,5) mani. Due metodi che non condividono ipotesi e concordano all'unità sono quanto di più vicino alla certezza il conteggio possa offrire.

L'ordine delle mani è una conseguenza, non una convenzione

Leggi la colonna dei conteggi dall'alto in basso: 40, 624, 3 744, 5 108, 10 200, 54 912, 123 552, 1 098 240, 1 302 540. È strettamente crescente, ed è anche l'ordine che ogni regolamento di poker stampa. Non è una coincidenza né una scelta estetica di un antico estensore di regole. Se una mano più rara perdesse contro una più comune, il gioco premierebbe l'impresa più facile, e qualsiasi giocatore che se ne accorgesse potrebbe sfruttarlo. La classifica è imposta dal conteggio, ed è per questo che è identica in ogni giurisdizione e in ogni variante che usi mani di cinque carte.

La relazione è più di un ordine — è un rapporto. Una scala reale è 15,6 volte più rara di un poker, che è 6 volte più raro di un full, che è solo 1,36 volte più raro di un colore. Quest'ultimo divario è il più stretto della tabella, ed è per questo che il confine colore/full è quello che più spesso si ricorda male: 5 108 contro 3 744, una differenza di 1 364 mani su due milioni e mezzo. Il confine coppia/carta alta, in fondo, è quasi un testa o croce, 42,3 % contro 50,1 %, e insieme quelle due categorie coprono il 92,4 % di tutte le distribuzioni.

Con sette carte è un altro problema

Tutto quanto sopra descrive una mano di esattamente cinque carte. L'Hold'em ne dà sette a ogni giocatore e valuta le migliori cinque, che non è lo stesso calcolo e non ha le stesse risposte. Lo spazio cresce a C(52,7) = 133 784 560, e ogni mano va valutata cercando il suo miglior sottoinsieme di cinque carte invece che semplicemente classificata. Enumerarle tutte dà 41 584 scale reali, 224 848 poker, 3 473 184 full, 4 047 644 colori, 6 180 020 scale, 6 461 620 tris, 31 433 400 doppie coppie, 58 627 800 coppie e 23 294 460 carte alte — la cui somma è, di nuovo esattamente, C(52,7).

Due di quei numeri ribaltano la storia ordinata di sopra. Una scala, con 6 180 020, è più rara di un tris, con 6 461 620 — eppure continua a batterlo, perché la classifica è fissata dai conteggi a cinque carte, non da quelli a sette. E la carta alta, che a cinque carte è l'esito più frequente con il 50,1 %, scende al 17,4 % con sette carte, sotto la doppia coppia al 23,5 %. L'ordine del poker coincide dunque esattamente con la rarità nei giochi a cinque carte e solo approssimativamente in quelli a sette. È un'incoerenza reale e documentata del gioco, non un errore di aritmetica, e un buon motivo per diffidare di qualsiasi tabella a sette carte pubblicata senza enumerazione.

Domande frequenti

Perché il conteggio dei colori sottrae 40?

Perché le nove categorie devono escludersi a vicenda affinché i loro conteggi sommino al totale. Scegliere cinque carte di un seme dà 4 × C(13,5) = 5 148 mani, e 40 di quelle cinquine risultano consecutive per valore, il che le rende scale reali. Se le lasci nel secchio dei colori stanno anche in quello delle scale reali, e i nove conteggi sommano 2 599 040 invece di 2 598 960. Esattamente le stesse 40 mani devono uscire dal conteggio delle scale, portando 10 240 a 10 200. È il difetto più comune nelle tabelle pubblicate: si applica una delle due sottrazioni e non l'altra, e l'errore è di ottanta mani, invisibile a meno che non sommi la colonna.

A-2-3-4-5 è davvero una scala?

Sì, ed è il motivo per cui le sequenze di valori sono dieci e non nove. All'asso è consentito giocare come carta più bassa oltre che come più alta, quindi le sequenze valide vanno da A-2-3-4-5 fino a 10-J-Q-K-A: dieci in tutto. È lo standard in ogni regolamento importante. Ciò che non è consentito è il giro sopra la cima: K-A-2-3-4 e Q-K-A-2-3 non sono scale, perché la sequenza ha due estremi e l'asso può occuparne uno ma non collegarli. Togli la scala bassa e il conteggio scende a 9 180; permetti il giro e sale a 13 260. Nessuna delle due cifre lascia che le nove categorie sommino a 2 598 960, ed è così che si acchiappa l'errore senza discutere della regola.

Perché il colore sta sopra la scala?

Perché è più raro, e con un margine netto: 5 108 colori contro 10 200 scale, quindi un colore è quasi esattamente il doppio più difficile da ricevere. L'intuizione che trae in inganno è che ci sono solo quattro semi e tredici valori, quindi far combaciare i semi sembrerebbe più facile — ma un colore richiede che tutte e cinque le carte concordino su una di quattro cose, mentre una scala chiede soltanto che i cinque valori cadano in una finestra di cinque su tredici e lascia ogni seme completamente libero. Il conteggio decide: 4 × C(13,5) − 40 = 5 108 contro 10 × 4^5 − 40 = 10 200. Le classifiche nel poker non sono mai questione di gusto; ogni confine della tabella è un confronto fra due conteggi.

Queste probabilità valgono per il Texas hold'em?

No. Descrivono una mano di esattamente cinque carte distribuite a caso, cioè draw o stud a cinque carte, non hold'em. Nell'hold'em ogni giocatore forma le migliori cinque su sette, quindi lo spazio è C(52,7) = 133 784 560 e ogni categoria diventa più probabile — un full passa dallo 0,14 % al 2,60 %, un colore dallo 0,20 % al 3,03 %. Enumerare tutte le mani a sette carte produce anche due inversioni che vale la pena conoscere: una scala, con 6 180 020, diventa più rara di un tris con 6 461 620, e la carta alta scende dall'esito più frequente al 50,1 % fino al 17,4 %, sotto la doppia coppia. L'ordine delle mani non segue, perché è fissato dai conteggi a cinque carte. Se vuoi numeri da hold'em, usa numeri da hold'em; la tabella a cinque carte è lo strumento sbagliato.

Come verifico una tabella di probabilità trovata da qualche parte?

Somma i conteggi delle mani. Se non danno esattamente 2 598 960, la tabella è sbagliata, e l'entità dello scarto di solito nomina l'errore. Uno scarto di esattamente 40 significa che manca una delle due sottrazioni delle scale reali. Uno scarto di 1 020 significa che la scala bassa è stata tolta dal conteggio delle scale, perché una sequenza di valori vale 4^5 − 4 = 1 020 mani e 10 200 meno 9 180 fa esattamente quello. Uno scarto di 3 060 nell'altro verso significa che il conteggio ha ammesso sequenze che girano oltre l'asso. Se la tabella dà solo percentuali, moltiplica ciascuna per 2 598 960 e verifica che i risultati siano interi; un conteggio genuino lo è sempre. Le sole percentuali nascondono errori che gli interi non possono nascondere.