Le diagonali di un poligono sono una maglia completa meno il perimetro

Perché le topologie a maglia completa si fermano a numeri piccoli

Il conteggio cresce con il quadrato del numero di nodi, quindi ogni macchina aggiunta costa più della precedente. Passare da dieci nodi a venti alza i collegamenti da 45 a 190, e arrivare a cento li porta a 4.950 — cento volte più collegamenti per dieci volte più macchine. È per questo che le maglie complete sopravvivono solo fra una manciata di router di dorsale o in un piccolo cluster, e perché tutto ciò che è più grande passa per concentratori, spine o broker. La stessa aritmetica spiega perché una riunione di dodici persone offra sessantasei possibili conversazioni parallele, e perché i costi di coordinamento di una squadra salgano più in fretta del suo organico.

Le altre due uscite sono più semplici di quanto sembrino

Ogni poligono di n lati si taglia in n−2 triangoli tracciando le diagonali da un solo vertice, e poiché ogni triangolo porta 180 gradi, la somma degli angoli interni vale (n−2) × 180: 720 per un esagono, 3.240 per un icosagono. Il risultato vale per i poligoni irregolari quanto per i regolari, e non si cura della convessità — un contorno ammaccato ha la stessa somma di angoli di uno ordinato con lo stesso numero di vertici. È la verifica più rapida su un rilievo: somma gli angoli interni misurati e guarda se cadono sul numero che devono dare.

Domande frequenti

Le diagonali si incrociano tutte all'interno?

Solo in un poligono convesso. Ammacca il contorno e alcune diagonali escono del tutto dalla forma, passano per l'incavo e rientrano — restano diagonali nel senso qui usato, che conta coppie di vertici non adiacenti a prescindere da dove passi la linea. Il conteggio resta quindi n(n−3)/2 qualunque sia la forma, mentre il numero di incroci interni no: in un poligono convesso in cui tre diagonali non si incontrano mai in un punto, gli incroci interni valgono il numero di modi di scegliere quattro vertici, poiché ogni quaterna dà esattamente un incrocio.

Perché un triangolo non ne ha nessuna?

Perché ogni vertice è adiacente a tutti gli altri, quindi non resta alcuna coppia non adiacente da unire. La formula lo conferma senza trattamenti speciali: 3 × 0 ÷ 2 fa zero, e il 4 × 1 ÷ 2 di un quadrilatero dà le due diagonali che chiunque sa tracciare. Che l'espressione tratti bene i casi più piccoli è una garanzia modesta ma reale sul suo conto — una formula di conteggio che richiedesse un'eccezione a n = 3 segnalerebbe una derivazione andata storta da qualche parte, più che una stranezza dei triangoli.