In cosa differisce dalla distribuzione binomiale?

La binomiale conta successi fra un numero fisso di prove, quindi ha un tetto — venti lanci di moneta non possono dare ventuno teste. Poisson conta eventi in una finestra senza limite superiore: nulla nel modello vieta cento arrivi in un minuto che ne ha in media cinque, lo rende soltanto astronomicamente improbabile. Le due convergono quando il numero di prove è grande e la probabilità di ciascuna piccola, ed è per questo che Poisson è la scelta pratica per eventi rari fra molte occasioni — pochi difetti in una lunga serie di produzione, una manciata di clic fra molte impressioni.

Il ritmo può essere frazionario?

Sì, e di norma lo è. Il parametro è una media su una finestra: mezzo evento all'ora descrive perfettamente qualcosa che accade una dozzina di volte al giorno, e i conteggi che prevede restano numeri interi. Cambiare finestra riscala il parametro in proporzione — cinque al minuto sono trecento all'ora — e le probabilità cambiano di conseguenza, per cui la finestra va enunciata con il ritmo. Un modello adattato al minuto e applicato all'ora sbaglia di un fattore sessanta sul parametro e di molto di più sulla coda.

Se la varianza non è la media, non è una Poisson

Pubblicato il 09/10/2026 · 3 min di lettura · Calcolatrici quotidiane

Daniel Okonkwo — Sviluppatore front-end e redattore Tech presso OneKitly

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In breve

La distribuzione di Poisson descrive quanti eventi indipendenti cadono in una finestra fissa quando arrivano a un ritmo medio costante. Il suo unico parametro è quel ritmo, e la conseguenza notevole è che fissa anche la dispersione: in questa distribuzione la varianza è uguale alla media, entrambe cinque qui. Quell'uguaglianza è la migliore diagnosi che ci sia. Conta gli arrivi su molte finestre, calcola media e varianza di quei conteggi e confrontale: se la varianza è vicina alla media, il modello regge e le probabilità qui sotto sono utilizzabili. Se la varianza è assai maggiore — come di norma è per ticket di assistenza, visite a un sito e guasti di macchina — gli eventi si raggruppano invece di arrivare in modo indipendente, e ogni grandezza calcolata sotto l'ipotesi di Poisson sottostimerà quanto brutto diventi un brutto intervallo.

Con una media di cinque eventi per intervallo, ne accadono esattamente tre il 14,0 % delle volte, nessuno lo 0,7 % e dieci o più il 3,2 % — circa una volta ogni 31 intervalli. La distribuzione ha un solo parametro, e fissa insieme media e varianza.

Una capacità dimensionata sulla media viene superata di continuo

Cinque in media non vuol dire cinque la maggior parte del tempo. Esattamente cinque accade in circa il 17 % degli intervalli, e tutto il resto avviene negli altri 83 — compresi nessuno in uno su centocinquanta e dieci o più nel 3,2 %, cioè all'incirca un intervallo su trentuno. Una coda, un centralino o un turno costruito sulla media sarà quindi in eccedenza più volte all'ora se l'intervallo è il minuto. Dimensiona piuttosto contro un percentile alto scelto, e di' quale: puntare al novantacinquesimo significa accettare che un intervallo su venti trabocchi, e questa è una decisione di politica e non di aritmetica.

Il ritmo costante è l'ipotesi che cede per prima

Quasi nulla arriva a un ritmo davvero costante. Il traffico web ha una forma giornaliera e una settimanale; i ticket di assistenza schizzano dopo un rilascio; gli incidenti stradali si raggruppano attorno al meteo. Adattare un unico ritmo su un periodo che contiene più regimi produce una distribuzione più larga della Poisson che dichiara di essere — esattamente l'eccesso di varianza descritto sopra, spesso scambiato per raggruppamento quando è in realtà una media mobile. Il rimedio è spezzare i dati in finestre in cui il ritmo sia plausibilmente stabile — ore del giorno, giorni della settimana — e adattare ciascuna separatamente, il che di solito ripristina l'uguaglianza di media e varianza dentro ogni finestra.

Probabilità

Media di cinque eventi per intervallo
Esito	Probabilità
Esattamente 0	0,67 %
Esattamente 3	14,04 %
3 o meno	26,50 %
10 o più	3,18 %

Esempio calcolato con il nostro strumento

Calcolatore della distribuzione di Poisson

Dati

Tasso medio λ: 5,5
Numero di eventi k: 6

Risultato

P(X = k): 0,157
P(X ≤ k): 0,686
P(X ≥ k): 0,471
Media = varianza = λ: 5,5

Queste cifre sono prodotte dal calcolatore qui sotto, non digitate a mano — vengono ricalcolate a ogni modifica dello strumento.

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Domande frequenti

In cosa differisce dalla distribuzione binomiale?: La binomiale conta successi fra un numero fisso di prove, quindi ha un tetto — venti lanci di moneta non possono dare ventuno teste. Poisson conta eventi in una finestra senza limite superiore: nulla nel modello vieta cento arrivi in un minuto che ne ha in media cinque, lo rende soltanto astronomicamente improbabile. Le due convergono quando il numero di prove è grande e la probabilità di ciascuna piccola, ed è per questo che Poisson è la scelta pratica per eventi rari fra molte occasioni — pochi difetti in una lunga serie di produzione, una manciata di clic fra molte impressioni.
Il ritmo può essere frazionario?: Sì, e di norma lo è. Il parametro è una media su una finestra: mezzo evento all'ora descrive perfettamente qualcosa che accade una dozzina di volte al giorno, e i conteggi che prevede restano numeri interi. Cambiare finestra riscala il parametro in proporzione — cinque al minuto sono trecento all'ora — e le probabilità cambiano di conseguenza, per cui la finestra va enunciata con il ritmo. Un modello adattato al minuto e applicato all'ora sbaglia di un fattore sessanta sul parametro e di molto di più sulla coda.

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Fonti

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