Brüche addieren und subtrahieren: gemeinsamer Nenner, zusammenfassen, kürzen

Warum ein gemeinsamer Nenner nötig ist

Der Nenner nennt die Größe jedes Stücks, der Zähler zählt, wie viele Stücke du hast. Addieren kannst du nur gleich große Stücke — Drittel und Viertel sind verschieden groß, also ist 1/3 + 1/4 nicht 2/7. Zuerst müssen beide Brüche in Stücke einer gemeinsamen Größe zerlegt werden.

Der gemeinsame Nenner ist diese geteilte Stückgröße. Das kleinste gemeinsame Vielfache von 3 und 4 ist 12, also passen Zwölftel für beide: ein Drittel sind 4 Zwölftel und ein Viertel 3 Zwölftel. Jedes gemeinsame Vielfache geht, aber das kleinste hält die Zahlen handlich.

Gerechnetes Beispiel: 1/3 + 1/4

Die Nenner sind 3 und 4, ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches ist 12. Schreibe jeden Bruch über 12: multipliziere 1/3 mit 4/4 zu 4/12 und 1/4 mit 3/3 zu 3/12. Nun sind beide Zwölftel und lassen sich zusammenfassen.

Addiere die Zähler und behalte den Nenner: 4/12 + 3/12 = 7/12. Prüfe das Kürzen — 7 ist prim und teilt 12 nicht, also ist 7/12 bereits vollständig gekürzt. Das ist die Endantwort.

Subtrahieren und kürzen

Die Subtraktion läuft genauso. Für 5/6 − 1/4 ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 6 und 4 gleich 12. Schreibe 5/6 als 10/12 und 1/4 als 3/12, dann subtrahiere: 10/12 − 3/12 = 7/12. Wieder ist 7/12 schon gekürzt.

Muss ein Ergebnis gekürzt werden, teile oben und unten durch den größten gemeinsamen Teiler. Zum Beispiel hat 8/12 den Teiler 4, also 8/12 = 2/3. Prüfe zum Schluss stets, ob Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler größer als 1 haben.

Häufige Fragen

Brauche ich immer das kleinste gemeinsame Vielfache?

Nein. Das Produkt der beiden Nenner ergibt immer einen gültigen gemeinsamen Nenner. Das kleinste gemeinsame Vielfache hält die Zahlen nur kleiner und spart späteres Kürzen.

Wie addiere ich eine ganze Zahl zu einem Bruch?

Schreibe die ganze Zahl als Bruch über demselben Nenner. Für 2 + 1/4 schreibe 2 als 8/4, dann 8/4 + 1/4 = 9/4.

Was, wenn das Ergebnis größer als 1 ist?

Das ist in Ordnung — es ist ein unechter Bruch wie 9/4. Du kannst ihn so lassen oder in eine gemischte Zahl umwandeln: 9/4 = 2 und 1/4.

Kann ich einen größeren Bruch von einem kleineren subtrahieren?

Ja — das Ergebnis ist einfach negativ. Für 1/4 − 5/6 nutze Zwölftel: 3/12 − 10/12 = −7/12. Die Methode ist identisch; nur das Vorzeichen ändert sich.