Die zulässige Last eines Trägers abschätzen: Stützweite, Durchbiegung und Lastfall

Welche Potenz der Stützweite: gemessen, nicht angenommen

Das Werkzeug bringt sieben Lastfälle mit, und der Exponent ist nicht in allen derselbe. Bei Gleichstreckenlast ist das Moment wL Quadrat durch 8 und die Durchbiegung 5wL hoch vier durch 384EI; bei Einzellast in Feldmitte ist das Moment PL durch 4 und die Durchbiegung PL hoch drei durch 48EI. Das Moment wächst also in den Streckenlastfällen mit dem Quadrat der Stützweite und in den Einzellastfällen nur linear, und die Durchbiegung wächst in der einen Familie mit der vierten Potenz und in der anderen mit der dritten. Die Stützweite an einem echten Profil zu verdoppeln und die Verhältnisse abzulesen bestätigte es exakt: 4,000 und 16,000 im Streckenlastfall, 2,000 und 8,000 bei der Einzellast.

Der Hinweis „Gut zu wissen“ des Werkzeugs behauptet ohne Einschränkung, das Moment wachse mit dem Quadrat der Stützweite und die Durchbiegung mit ihrer vierten Potenz. Das stimmt für drei seiner sieben Fälle und ist für vier falsch, und sein eigenes Formelfeld zeigt den widersprechenden Ausdruck ein paar Zentimeter weiter oben auf derselben Seite. Lies das Feld, nicht den Hinweis.

Es gibt eine ehrliche Präzisierung, die zählt, sobald du zwei Entwürfe vergleichst. Die vierte Potenz hält die Streckenlast je Längeneinheit konstant, also bringt eine größere Stützweite auch mehr Last mit: ein 6-m-Träger mit 8 kN/m trägt das doppelte Gesamtgewicht eines 3-m-Trägers mit 8 kN/m. Verteil dieselbe Gesamtlast über die doppelte Stützweite, und die Durchbiegung steigt auf das Achtfache, nicht auf das Sechzehnfache. Beide Aussagen stimmen; sie beantworten verschiedene Fragen, und das Werkzeug beantwortet die erste, weil sein Streckenlastfeld je Meter oder je Fuß gilt und keine Gesamtlast ist.

Welchen Lastfall das Werkzeug unterstellt — und warum er die Antwort ändert

Er startet mit einem Einfeldträger unter Gleichstreckenlast, und das Lastfeld wird dann als Kraft je Längeneinheit gelesen. Stell den Fall auf Einzellast um, und dasselbe Feld wird als Gesamtkraft gelesen. Das ist die folgenreichste Einstellung der Seite, und nichts warnt dich, wenn sich die Bedeutung derselben Eingabe ändert. Nimm ein Profil, eine Stützweite und eine Gesamtlast und leg sie auf beide Arten auf: ein IPE 240 über 5 m mit 40 kN ergibt als Streckenlast 25,00 kN·m und 7,97 mm und als Einzellast in Feldmitte 50,00 kN·m und 12,74 mm. Das Moment verdoppelt sich; die Durchbiegung steigt um 60 %; der Ausnutzungsgrad geht von 0,498 auf 0,996 — der Unterschied zwischen reichlich Reserve und keiner.

Die Vergleichstabelle am Fuß des Werkzeugs, überschrieben mit den sieben Lastfällen, verwendet stillschweigend die eingetippte Zahl weiter und nicht die Last. Sind 8 kN/m als Streckenlast eingetragen, werden die Einzellastzeilen aus einer Einzellast von 8 kN gerechnet — nicht aus den 40 kN Gesamtlast, die der Streckenlastfall tatsächlich darstellt. Die Zeilen sind in sich stimmig und miteinander irreführend: sie zeigen, was passieren würde, wenn dieselbe Zahl etwas anderes bedeutete, und das ist selten die Frage, die jemand stellt.

Wie viele Millimeter L/360 sind

Eine Durchbiegungsgrenze ist ein Bruchteil der Stützweite: sie sagt nichts, bevor du dividierst. Auf 4 m Stützweite sind L/360 gleich 11,1 mm; auf 5 m 13,9 mm; auf 6 m 16,7 mm; auf 7 m 19,4 mm. Die weicheren Grenzen sind nur größere Bruchteile derselben Stützweite: bei 5 m sind L/240 gleich 20,8 mm, L/180 gleich 27,8 mm, und das strenge L/480 sinkt auf 10,4 mm. Schreib die Zahl auf, bevor du die Antwort des Werkzeugs ansiehst — eine auf zwei Nachkommastellen angezeigte Durchbiegung nimmt man hin, ohne zu merken, dass der Träger sichtbar durchhängen wird.

Zwei Dinge, die das Werkzeug mit diesem Verhältnis anstellt, verdienen eine Anmerkung. Es bietet im Menü nur L/120, L/180, L/240, L/360 und L/480 an, doch eines seiner eigenen Beispiele setzt die Grenze auf L/300 — ein Wert, den das Menü nicht anzeigen kann: das Bedienelement zeigt also eine Grenze, mit der die Rechnung nicht arbeitet. Dieses Beispiel besteht bei L/300 mit 15,96 mm gegen 16,67 zulässige und fällt bei dem L/360 durch, auf das dich das Menü zurückholt, wo die Zulässigkeit auf 13,89 mm sinkt. Und beim Kragarm teilt es die Kragarmlänge selbst durch das Verhältnis, was strenger ist als die übliche Konvention, die doppelte Auskragung anzusetzen.

Der größere Unterschied liegt darin, auf welche Last die Grenze angewandt wird. Eine normative Durchbiegungstabelle nennt nicht ein Verhältnis, sondern mehrere, eines je Lastfall. Die Durchbiegungstabelle des International Building Code gibt Deckenbauteilen l/360 unter der Nutzlast allein und l/240 unter ständiger plus Nutzlast, ergänzt eine Fußnote, wonach bei Stahlbauteilen die ständige Last zu null zu setzen ist, und eine weitere, wonach bei Kragarmen die doppelte Auskragung anzusetzen ist. Dieser Rechner hat ein Lastfeld und ein Verhältnis: was du wählst, gilt für die eine Zahl, die du eingetippt hast. Für den echten Gebrauchstauglichkeitsnachweis musst du ihn zweimal laufen lassen, mit verschiedenen Lasten und verschiedenen Verhältnissen.

Meist entscheidet die Durchbiegung — aber nicht immer, und der Hinweis des Werkzeugs irrt

Tragfähigkeit und Steifigkeit gehen unterschiedlich schnell zur Neige, weil sie von verschiedenen Querschnittswerten abhängen: die Biegespannung vom Widerstandsmoment, die Durchbiegung vom Flächenträgheitsmoment und vom Elastizitätsmodul des Werkstoffs. Bei Stahl geht meist die Steifigkeit zuerst aus. Nimm ein IPE 240 aus S235 mit 8 kN/m: bei 4 m beträgt der Ausnutzungsgrad 0,319 und die Durchbiegung 3,26 mm gegen 11,11 zulässige; bei 6 m 0,717 und 16,52 mm gegen 16,67; bei 7 m erreicht die Durchbiegung 30,60 mm bei 19,44 zulässigen, und das Werkzeug meldet „DURCHBIEGUNG ÜBERSCHRITTEN“, während der Biegeausnutzungsgrad erst bei 0,976 steht. Die Durchbiegung wacht zuerst auf.

Der Hinweis des Werkzeugs geht einen Schritt weiter und behauptet, bei Deckenträgern entscheide fast immer die Durchbiegung und nicht die Tragfähigkeit. Lass sein zweites Beispiel laufen, und das erweist sich für Holz als falsch. Ein Rechteckbalken 38 x 235 mm aus Douglasie, mit der vom Werkzeug angebotenen unangepassten zulässigen Spannung von 6,2 MPa, unter 0,58 kN/m und Grenze L/360: bei 3,66 m beträgt der Ausnutzungsgrad 0,448 und die Durchbiegung 3,00 mm gegen 10,17 zulässige; bei 4,88 m 0,796 und 9,47 mm gegen 13,56; bei 5,49 m wird die Biegung mit 1,008 überschritten, während die Durchbiegung mit 15,18 mm gegen 15,25 noch innerhalb der Grenze liegt, also L/362. Über den ganzen Bereich geht die Biegung zuerst aus.

Das ist kein Rechenfehler, sondern eine Folge der angebotenen Zahlen. Seine Holz-Zulässigwerte sind nackte Referenzwerte ohne jeden Anpassungsbeiwert — nichts für Lasteinwirkungsdauer, Feuchte, Querschnittshöhe oder Systemwirkung —, wodurch die Biegetragfähigkeit gegenüber der Steifigkeit künstlich niedrig bleibt. Eine Planerin würde diese Beiwerte ansetzen, bevor sie die beiden Nachweise vergleicht, und in der echten Deckenbemessung läuft der Durchbiegungsnachweis meist nur unter der Nutzlast, während der Biegenachweis alles trägt. Beides ist auf dieser Seite nicht möglich — genau deshalb sind ihre Antworten eine Größenordnung und kein Urteil.

Was das Werkzeug nie liefert

Eine Ausgabe „zulässige Last“ gibt es nirgends. Er prüft eine Last, die du vorschlägst; er löst nicht nach der Last auf, die ein Träger aufnehmen kann. Willst du eine zulässige Last, musst du von Hand suchen: die Last steigern, bis der Ausnutzungsgrad 1 erreicht oder die Durchbiegung ihre Grenze, und den kleineren der beiden Werte nehmen. Das ist weniger ein Mangel als eine Entwurfsentscheidung, aber es ist die Frage, mit der die meisten ankommen, und die Seite sagt nie, dass sie sie nicht beantwortet.

Das Eigengewicht des Walzprofils wird angezeigt und nie zur Last addiert. Tipp 8 kN/m für ein IPE 200 ein, und die Rechnung nutzt 8 kN/m, während eine Zeile darunter die 22,4 kg/m des Profils als Hinweis meldet. Das sind rund 0,22 kN/m, die du selbst zulegen sollst, und dieselbe Zahl fehlt bei einem Rechteck, einem Kreis, einem Hohlquerschnitt oder eigenen I- und W-Werten ganz, wo überhaupt kein Eigengewicht erscheint, weil das Werkzeug für sie keine Dichte kennt.

Häufige Fragen

Kann ich damit einen Träger für mein Haus bemessen?

Nein. Du kannst herausfinden, ob die Größe, die dir vorschwebt, ungefähr stimmt — das lohnt sich vor dem Gespräch mit einer Tragwerksplanerin, und mehr ist es nicht. Alles, was eine Trägerrechnung erst zur Bemessung macht, fehlt hier: Lastkombinationen, Biegedrillknicken, Querkraft und Auflagerpressung, die Anschlüsse an beiden Enden, die Verträglichkeit mit dem übrigen Tragwerk, Brandschutz und die Beiwerte, die aus einer Referenzspannung eine zulässige machen. Ein tragendes Bauteil zu entfernen oder zu ersetzen ist zudem fast überall genehmigungspflichtig: jemand muss dafür unterschreiben.

Warum hilft ein höherer Träger so viel mehr als ein breiterer?

Weil die Höhe in der dritten Potenz steht und die Breite nicht. Beim Rechteck ist das Flächenträgheitsmoment Breite mal Höhe hoch drei durch zwölf und das Widerstandsmoment Breite mal Höhe zum Quadrat durch sechs. Verdopple die Breite, und beide verdoppeln sich. Verdopple die Höhe, und das Widerstandsmoment vervierfacht sich, während das Flächenträgheitsmoment auf das Achtfache steigt: viermal mehr Biegetragfähigkeit und achtmal mehr Steifigkeit bei derselben Materialmenge, nur anders gedreht. Deshalb liegen Balken hochkant, und deshalb ist ein flach gelegter Träger ein sehr teures Brett.

Das Werkzeug sagt, mein Träger sei nachgewiesen. Heißt das, er ist sicher?

Es heißt, dass die beiden Nachweise, die er führt, für die eingetippte Last unter ihren Grenzen blieben. Seine eigene Formulierung ist vorsichtig: das grüne Feld sagt „in diesem Modell nachgewiesen“, nicht „nachgewiesen“. Die eingetippte Last ist die, an die er glaubt, und wenn du das Eigengewicht vergessen, die Nutzlast unterschätzt oder einen unbeiwerteten Wert genommen hast, wo deine Norm einen beiwerteten will, hat das Modell eine falsche Frage richtig beantwortet. Ein I-Profil erreicht seine zulässige Spannung außerdem nur, wenn der Druckgurt durch Balken, Beplankung oder Aussteifungen seitlich gehalten ist; ohne Halterung kippt es lange vorher aus, und das Werkzeug prüft es nicht.

Wie viel bringt eine beidseitige Einspannung wirklich?

Auf dem Papier sehr viel: unter Streckenlast fällt das maximale Moment von wL²/8 auf wL²/12 und die Durchbiegung von 5wL⁴/384EI auf wL⁴/384EI, also ein 1,5-mal kleineres Moment und eine fünfmal kleinere Durchbiegung. In der Praxis ist es die Annahme, die am häufigsten geschenkt genommen wird und am häufigsten falsch ist. Einspannung heißt, dass das Auflager die Verdrehung des Trägerendes wirklich verhindert, und das verlangt einen dafür bemessenen biegesteifen Anschluss. Ein auf zwei Wänden aufliegender Träger ist nicht eingespannt; ein nur über einen Steganschluss verschraubter Träger ebenso wenig. Wählst du diesen Fall, behauptest du über den Anschluss etwas, das das Werkzeug nicht nachprüfen kann.

Warum unterscheidet sich die Profilliste zwischen imperialem und metrischem Modus?

Sie unterscheidet sich nicht, und das ist wissenswert. In beiden Einheitensystemen werden dieselben drei Kataloge angeboten: amerikanische W-Profile sowie die europäischen Reihen IPE und HEA. Das Werkzeug rechnet um: du kannst ein W12×26 in eine metrische Rechnung stecken oder ein IPE 200 in eine imperiale, und die Querschnittswerte kommen in der gewählten Einheit zurück. Daraus folgt aber nicht, dass man das eine dort ausschreiben darf, wo das andere verkauft wird. Frag hier einen Lieferanten nach einem W-Profil, und du bekommst ein IPE oder HEA angeboten; frag jenseits des Atlantiks nach einem IPE, und du bekommst das nächstgelegene W. Die Querschnittswerte machen die Rechnung; die Bezeichnung macht die Bestellung.