Gefälle, Prozent, Grad und Verhältnis: jedes berechnen und ineinander umrechnen

Höhe durch waagerechte Länge, sonst nichts

Jede Neigungsangabe geht von einem einzigen Bruch aus: dem Höhenunterschied geteilt durch die waagerechte Länge. Prozent multipliziert diesen Bruch mit 100, der Winkel nimmt seinen Arkustangens, das Verhältnis kehrt ihn um. Weil alle drei aus demselben Bruch stammen, kommt man stets von einem zum anderen, ohne erneut zu messen — aber nicht durch Skalieren, denn der Arkustangens ist keine Gerade. Nahe null ist der Zusammenhang fast linear, rund 0,573 Grad je Prozentpunkt: daher 0,57 Grad bei 1 Prozent und 2,86 Grad bei 5 Prozent, beinahe das Fünffache. Bei 50 Prozent sagte diese Näherung 28,6 Grad voraus, tatsächlich sind es 26,57.

Die waagerechte Länge im Bruch ist der Abstand in der Ebene, nicht die am Boden gemessene Strecke. Ziehst du ein Bandmaß eine Böschung hinauf, misst du die Hypotenuse, die stets länger ist als die Waagerechte darunter. Bei sanften Neigungen stört das niemanden: bei 10 Prozent zeigt das Band nur 0,5 Prozent zu viel. An einer steilen Böschung entscheidet es die Baustelle. Bei 50 Prozent ist die Schräglänge 11,8 Prozent länger als die Waagerechte, bei 100 Prozent 41,4 Prozent. Wer Rollrasen, Bahnen oder Platten nach einem entlang einer 1-zu-1-Böschung gemessenen Maß bestellt, dem fehlt ein Drittel. Miss die Waagerechte mit Wasserwaage und Lot, oder teile die Schräglänge durch die Wurzel aus eins plus dem Quadrat der Neigung.

Das Verhältnis wird je nach Gewerk umgekehrt geschrieben

Eine als 1:12 beschriebene Rampe und eine als 12:1 beschriebene Böschung sind dieselbe Neigung. Barrierefreiheitsregelwerke schreiben die Höhe zuerst — eine Einheit hinauf auf zwölf voraus —, während Erdbau und Straßenpläne die Waagerechte zuerst nennen, zwölf voraus auf eine hinauf. Der Schreibweise sieht man nicht an, welche Konvention gilt, und 12:1 als Höhe durch Länge gelesen ergibt ein Gefälle von 1 200 Prozent, einen Winkel von 85 Grad und einen sehr ratlosen Baggerfahrer. Die sichere Gewohnheit: Rechne jedes erhaltene Verhältnis sofort in Prozent um, denn ein Prozentwert lässt sich nicht verkehrt herum lesen.

Das Dach bringt eine dritte Schreibweise. Amerikanische Dachdecker geben den Anstieg je zwölf Waagerechte an: Ein Dach mit 6 zu 12 hat 6 ÷ 12 = 50 Prozent und 26,57 Grad, eines mit 12 zu 12 hat 100 Prozent und 45 Grad. Das ist die Verhältniskonvention mit der Waagerechten auf zwölf statt auf eins festgelegt, was Dachneigungen untereinander vergleichbar macht — aber nur untereinander. Rechne die Dachneigung in Prozent um, bevor du sie mit einem Entwässerungsgefälle oder einer Rampe vergleichst, sonst vergleichst du einen Bruchteil von zwölf mit einem Bruchteil von hundert.

Was die Regelwerke tatsächlich verlangen

Bei Rampen sind die Zahlen rechtsverbindlich, nicht empfehlend, und sie kommen paarweise: eine Höchstneigung und ein Höchstanstieg vor einem Podest. Die ADA-Standards deckeln eine Rampe bei 1:12, also 8,33 Prozent oder 4,76 Grad, und erlauben höchstens 760 mm Anstieg in einem Lauf — bei 1:12 sind das 9,14 m Rampe — vor einem ebenen Podest von mindestens 1,52 m. Unterhalb von 1:20, also 5 Prozent, ist die Fläche ein Gehweg und keine Rampe, und diese Regeln gelten gar nicht. In Großbritannien kommt das Approved Document M auf anderem Weg zum selben Ziel: 1:12 ist nur über 2 m Länge zulässig, 1:15 bis 5 m und 1:20 bis 10 m, mit höchstens 500 mm Anstieg je Lauf.

Entwässerungsgefälle wirken umgekehrt: Sie sind Mindestwerte, und sie sind klein. Die übliche Vorgabe, das Gelände vom Gebäude wegfallen zu lassen, liegt bei etwa 2 Prozent, also 1,15 Grad, was auf der Wasserwaage fast nicht zu sehen ist. Flachdächer werden meist mit 1 Prozent oder mehr ausgeschrieben, damit stehendes Wasser die Abdichtung nicht besiegt. Gerade weil sie so gering sind, gehen diese Gefälle auf der Baustelle am häufigsten verloren: 2 Prozent über eine Terrasse von 5 m sind nur 10 cm Höhenunterschied von Ende zu Ende, und die Hälfte davon verschwindet in der Toleranz eines Estrichs. Stelle sie mit Wasserwaage und Messklotz ein, nie nach Augenmaß.

Häufige Fragen

Ist ein Gefälle von 100 Prozent senkrecht?

Nein. Ein Gefälle von 100 Prozent steigt je Einheit voraus um eine Einheit an, also genau 45 Grad — steil genug, dass man eher klettert als geht, im Winkel aber erst auf halbem Weg zur Senkrechten. Gefälle gehen weiter: 200 Prozent sind 63,43 Grad, 1 000 Prozent sind 84,29 Grad, und senkrecht ist undefiniert, weil man durch eine waagerechte Länge von null teilen müsste. Die Vorstellung, 100 Prozent seien das Maximum, stammt von Prozentsätzen einer Menge, wo 100 Prozent das Ganze sind. Ein Gefälle ist kein Prozentsatz von irgendetwas, sondern ein Verhältnis, das man mit einem Prozentzeichen schreibt.

Wie messe ich eine Neigung ohne Nivelliergerät?

Ein gerades Brett, eine Wasserwaage und ein Bandmaß genügen. Lege ein Ende des Bretts auf den hohen Punkt, hebe das andere, bis die Libelle mittig steht, und miss senkrecht vom angehobenen Ende bis zum Boden: Diese Höhe ist der Anstieg, die Brettlänge ist die waagerechte Strecke. Ein Brett von 1,20 m mit 10 cm Luft ergibt 10 ÷ 120 = 8,3 Prozent. Wiederhole das über die ganze Länge, statt einer einzigen Ablesung zu trauen, denn Gelände ist selten eben und der Mittelwert aus drei Feldern sagt mehr als ein glückliches Feld. Ein Smartphone-Neigungsmesser liefert den Winkel direkt, aber gleiche ihn einmal mit der Brettmethode ab: flach aufgelegt kann er schon durch die Hülle ein Grad danebenliegen.

Ist das Prozentgefälle ein Prozentsatz des Winkels?

Nein, und beide ähneln sich nur am unteren Ende der Skala. Das Prozentgefälle ist der Tangens des Winkels mal 100, und die Tangenskurve verlässt die Gerade schnell. Bis etwa 10 Prozent liefert eine Division durch 1,75 den Winkel auf ein Zehntelgrad genau: 10 Prozent ergeben 5,71, und die Abkürzung ergibt 5,71. Bei 25 Prozent sagt die Abkürzung 14,3 gegenüber tatsächlich 14,04, bei 50 Prozent 28,6 gegenüber 26,57. Über einem Zehntel Anstieg rechne den Arkustangens sauber oder lies den Wert aus einer Tabelle ab.