Riemenlänge zwischen zwei Scheiben: die Geometrie — und warum das Ergebnis nicht das ist, was du bestellst

Warum es nicht zweimal der Achsabstand plus beide Umfänge ist

Die naive Summe zählt fast alles doppelt. Ein Riemen berührt jede Scheibe über einen Bogen und läuft dann tangential weg; er geht nie ganz um eine der beiden herum. An der großen Scheibe ist der Bogen etwas mehr als der halbe Umfang, an der kleinen etwas weniger, und die beiden Abweichungen von der Hälfte heben sich fast vollständig auf — deshalb enthält die exakte Antwort einen einzigen mittleren Umfang, π(D1 + D2)/2, und nicht zwei ganze. Addiere beide vollen Umfänge, und du hast je eine ganze Runde um jede Scheibe gezählt, die der Riemen nie dreht.

Die geraden Trume sind die andere Hälfte der Überraschung, und sie gehen in die Gegenrichtung: Sie sind kürzer als der Achsabstand, nicht länger. Jede Tangente ist die Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Hypotenuse der Achsabstand und dessen andere Kathete die halbe Durchmesserdifferenz ist; sie misst also die Wurzel aus C² − ((D1 − D2)/2)². Bei Scheiben von 200 und 100 mm im Abstand 400 mm ist jedes gerade Trum 396,86 mm statt 400 lang — 3,14 mm zu wenig, und das zweimal. Der Korrekturterm (D1 − D2)²/(4C) holt das und ein wenig mehr zurück, und er ist die einzige Stelle, an der die Größendifferenz der beiden Scheiben überhaupt auftaucht. Im metrischen Beispiel sind das 6,25 mm von 1 277,49 — ein halbes Prozent. Bei zwei gleich großen Scheiben ist er exakt null, die Umschlingung beträgt beidseitig genau 180°, und der Riemen ist schlicht zweimal der Achsabstand plus ein Umfang.

Die Formel, die gekreuzte Variante und wie weit die Näherung abweicht

Das Werkzeug setzt die klassischen geschlossenen Formen um. Offen: L = 2C + π(D1 + D2)/2 + (D1 − D2)²/(4C). Gekreuzt: dieselben ersten beiden Terme, aber die Korrektur wird zu (D1 + D2)²/(4C), weil ein gekreuzter Riemen beide Scheiben über mehr als die Hälfte umschlingt. Im metrischen Beispiel liefert offen 1 277,49 mm und gekreuzt 1 327,49 mm — 50 mm mehr bei gleicher Mechanik, und das sollte man vor der Bestellung wissen. Das Werkzeug gibt außerdem die ersten beiden Terme allein als zweites Ergebnis aus, beschriftet als Länge ohne Korrekturterm: 1 271,24 mm. Diese Zahl ist kein Riemen, sondern eine Diagnose — sie sagt dir, welcher Teil der Antwort reine Geometrie ist und welcher Teil aus dem Größenunterschied der Scheiben stammt.

Beide geschlossenen Formen sind Näherungen, keine Identitäten. Die exakte Antwort braucht einen Arkussinus, denn der Umschlingungswinkel an jeder Scheibe hängt von der Geometrie ab: 180° plus zweimal der Arkussinus der halben Differenz durch den Achsabstand an der großen Scheibe, 180° minus dasselbe an der kleinen. Nimm den Standardfall des Werkzeugs, und die Abweichung ist unsichtbar — 1 277,49 mm gegen exakt 1 277,50, acht Mikrometer. Treib das Verhältnis, und sie wächst: Scheiben von 250 und 50 mm im Abstand 160 mm umschlingen die kleine nur über 102,6°, und dort fällt die Formel 2,33 mm zu kurz aus, also 0,27 %. Gekreuzte Riemen driften schneller, weil ihr Korrekturterm größer ist. Der Fehler zeigt immer in dieselbe Richtung — die Näherung meldet zu wenig —, und das ist die richtige Richtung, denn lieber sitzt der Riemen in der Mitte des Verstellwegs eine Spur straff als am Ende eine Spur locker.

Die berechnete Länge ist ein Katalogeintrag, keine Bestellung

Niemand fertigt einen Riemen auf den Millimeter, den du dir ausgesucht hast. Riemen werden auf Trommeln in einer genormten Längenreihe geformt und vulkanisiert, mit einem Profilbuchstaben und einem Längencode gekennzeichnet und in dieser Reihe bevorratet — genau deshalb läuft der nützliche Ablauf andersherum, als man erwartet. Du berechnest die Länge, die deine aktuelle Geometrie verlangt, schlägst sie nach, findest sie zwischen zwei lagernden Größen, und wählst dann, um welche lagernde Größe herum du den Trieb baust, und rückst den Motor entsprechend.

Die Rechnung für diesen Versatz ist einfacher, als sie aussieht, denn die Länge wird von ihrem ersten Term beherrscht. Ableiten ergibt dL/dC = 2 − (D1 − D2)²/(4C²), im metrischen Beispiel 1,984 — sagen wir zwei. Jeder Millimeter Motorverschiebung ändert den Riemenbedarf um knapp zwei Millimeter, und dasselbe Verhältnis gilt in Zoll. Wenn das Werkzeug also bei 400 mm Achsabstand 1 277,49 mm meldet und du stattdessen auf 1 250 mm landen willst, musst du 27,49 mm Riemen loswerden, also die Wellen um 13,86 mm annähern: Stell C auf 386,14 mm. Gib 386,14 zurück ins Werkzeug, und es liefert 1 250,00 mm — die Prüfung, die man lieber macht, als der Ableitung zu vertrauen.

Zwei praktische Zwänge grenzen diese Wahl ein. Der Motor muss in beide Richtungen genug Verstellweg behalten: Spiel, um den neuen Riemen aufzulegen, ohne ihn über den Bord zu hebeln — das zerstört die Zugstränge —, und Spannweg in Reserve für die Dehnung, die der Riemen in den ersten Betriebsstunden annimmt. Und es gibt eine Untergrenze für den Umschlingungswinkel. Unter etwa 120° an der kleinen Scheibe beginnt ein Keilriemen zu rutschen, bevor er seine Nennleistung überträgt — was die Tabelle unten in einen Mindestachsabstand für ein gegebenes Scheibenpaar übersetzt. Beides sind Gründe, zur Mitte des Verstellbereichs hin zu konstruieren statt auf eine Zahl.

Drehzahl, Übersetzung und welche Scheibe treibt

Trag eine Antriebsdrehzahl ein, und das Werkzeug ergänzt zwei Zahlen, die darüber entscheiden, ob der Trieb überhaupt taugt. Die getriebene Drehzahl ist die Antriebsdrehzahl mal dem Durchmesserverhältnis: Eine 200-mm-Scheibe bei 1 450 U/min, die eine 100-mm-Scheibe treibt, ergibt 2 900 U/min — aber nur, wenn der Schalter sagt, dass die 200er treibt. Kipp ihn um, und dieselbe Mechanik meldet 725 U/min, denn das Verhältnis dreht sich um. Diesen Schalter lässt man leicht versehentlich stehen, und das Symptom ist eine völlig plausible Zahl, die um das Quadrat des Verhältnisses danebenliegt, wenn man daraus dann auf das Drehmoment schließt.

Die andere Zahl ist die Riemengeschwindigkeit, also der Umfang der treibenden Scheibe mal ihrer Drehzahl: 15,18 m/s im metrischen Beispiel. Sie zählt, weil jedes Riemenprofil einen Geschwindigkeitsbereich hat, in dem es sich bewährt, und beide Grenzen sind echt. Zu langsam, und der Riemen muss für dieselbe Leistung zu viel Kraft tragen — er braucht ein größeres Profil oder mehr Stränge. Zu schnell, und die Fliehkraft hebt den Riemen aus der Rille, was genau den Grip beschneidet, von dem er lebt, und das Profil läuft heiß. Beachte, dass diese Ausgabe in jedem Markt in Metern pro Sekunde bleibt, weil die Anzeige für diese Einheit keine imperiale Umrechnung kennt.

Was das Werkzeug dir nicht sagt

Es prüft nicht, ob die Anordnung physikalisch möglich ist. Frag es nach Scheiben von 200 und 100 mm mit nur 120 mm zwischen den Wellen, und es liefert kommentarlos 732,07 mm — obwohl die beiden Radien zusammen 150 mm ergeben und die Scheiben damit denselben Raum belegen würden. Setz den Achsabstand auf null: Eine Ausgabe geht ins Unendliche, während die andere weiterhin endliche 471,24 mm zeigt, weil der zweite Term seelenruhig für sich rechnet. Setz den getriebenen Durchmesser auf null: Du bekommst weiterhin Riemenlänge und Riemengeschwindigkeit, nur das Feld der getriebenen Drehzahl bleibt leer. Immer dieselbe Sorte Lücke: Die Formel wird ausgewertet, die Zeichnung nicht.

Die Einheitenauswahl verdient eine eigene Warnung, denn sie regiert alle drei Längen zugleich. Tippe 200, 100 und 400 und lass die Einheit auf Zoll stehen, und du bekommst einen Riemen von 32 448,2 mm — arithmetisch einwandfrei und ein Trieb von der Größe eines Busses. Es gibt keinen Abgleich zwischen Durchmessern und Achsabstand, und nichts am Ergebnis weist auf den Widerspruch hin. Die Regel ist schlicht: Einheit setzen, bevor du irgendetwas tippst, und das Ergebnis grob gegen den doppelten Achsabstand prüfen — der Riemen ist immer etwas mehr als das plus ein mittlerer Umfang, und nie etwas anderes.

Häufige Fragen

Welchen Durchmesser messe ich an einer Keilriemenscheibe?

Den, auf dem der Riemen tatsächlich läuft — nicht den, den der Messschieber am leichtesten erreicht. Ein Keilriemen taucht in seine Rille ein, seine Berührlinie liegt also unter dem Außendurchmesser der Scheibe, und zwar um einen Betrag, der vom Riemenprofil und vom Verschleiß der Rille abhängt. Kataloge nennen ihn Wirk-, Richt- oder Bezugsdurchmesser und drucken ihn für jede Scheibe; nimm diesen Wert. Über die Ränder zu messen und das einzugeben überschätzt beide Bögen und liefert einen Riemen, der einige Prozent zu lang ist — genug, um den Verstellweg auszureizen. Flach- und Zahnriemen sind einfacher: Ein Flachriemen läuft auf der Außenfläche, ein Zahnriemen auf einer Teilungslinie knapp über dem Zahngrund, ebenfalls im Katalog angegeben.

Wie straff muss der Riemen sein?

Straff genug, um nicht zu rutschen, und keinen Deut mehr, denn alles darüber geht in die Lager statt in die Last. Die Werkstattmethode ist die Durchbiegung: Man drückt mit einer bekannten Kraft in die Mitte des längsten freien Trums und prüft, ob der Riemen eine festgelegte Strecke nachgibt, in der Größenordnung von 1/64 der Stützweite je Einheit Stützweite, wobei Kraft und Weg beide aus der Herstellertabelle für dieses Profil kommen. Dass die Regel auf die Stützweite bezogen ist, liegt daran, dass ein längeres Trum bei gleicher Spannung von Natur aus weicher ist. Zwei Fehler sind häufig und gegenläufig: zu straff spannen, weil der Trieb einmal gequietscht hat — das tötet Motor- und Wellenlager Monate später, ohne dass jemand die Verbindung zieht; und nie nachprüfen, obwohl ein neuer Riemen den größten Teil seines Setzens und Dehnens in den ersten Betriebsstunden erledigt. Die richtige Routine lautet: spannen, kurz unter Last laufen lassen, nachspannen.

Warum braucht der gekreuzte Riemen mehr Länge als der offene?

Weil das Kreuzen die Umschlingung an beiden Scheiben zugleich erhöht, statt sie zwischen ihnen zu tauschen. Im offenen Trieb gewinnt der Riemen an der großen Scheibe Bogen und verliert denselben an der kleinen, die Summe bleibt also nahe einem mittleren Umfang. Kreuz ihn, und er muss die Mittellinie zweimal queren, was jede Scheibe über mehr als die Hälfte umschlingt und beide geraden Trume verlängert. Deshalb wechselt der Korrekturterm von (D1 − D2)² zu (D1 + D2)², einer weit größeren Zahl: Im metrischen Beispiel bringt er den Riemen von 1 277,49 mm auf 1 327,49 mm, also 50 mm mehr. Die zusätzliche Umschlingung erklärt auch, warum gekreuzte Triebe gut greifen und warum sie schnell verschleißen — der Riemen scheuert an der Kreuzungsstelle an sich selbst. Deshalb dienen sie dem Umkehren einer langsamen Welle, nicht der Übertragung echter Leistung.

Das Werkzeug gibt zwei Längen aus. Welche nehme ich?

Die erste, immer. Die zweite ist als Länge ohne Korrekturterm beschriftet und besteht nur aus den ersten beiden Termen der Formel: zweimal der Achsabstand plus ein mittlerer Umfang, im metrischen Beispiel 1 271,24 mm gegenüber vollen 1 277,49 mm. Es ist die Länge, die man bräuchte, wenn beide Scheiben genau 180° umschlungen wären — was nur bei gleicher Größe eintritt. Ihr Nutzen ist diagnostisch: Der Abstand zwischen beiden Zahlen zeigt auf einen Blick, wie viel der Antwort aus dem Größenunterschied der Scheiben stammt, und wird dieser Abstand im Verhältnis zur Summe groß, bist du in dem Bereich, in dem die geschlossene Form vom exakten Arkussinus-Ergebnis abzuweichen beginnt. Bei zwei gleichen Scheiben sind beide Ausgaben identisch — das Werkzeug sagt dir damit, dass der Korrekturterm null ist.

Kann ich nicht einfach den alten Riemen messen?

Kannst du, und du solltest zuerst den in den Rücken eingeprägten Code lesen, denn das ist die Antwort ganz ohne Messen. Ist die Prägung unleserlich, funktioniert Messen — mit zwei Fallen. Ein gebrauchter Riemen hat sich gedehnt, mitunter um ein Prozent oder mehr; ihn zu messen liefert also eine Länge, die nie eine Kataloggröße war. Und ein Keilriemen wird auf seiner Wirklinie gemessen, weder außen noch innen: ein Maßband um die Außenfläche überschätzt, um die Innenfläche unterschätzt — der übliche Behelf ist eine Schnur, die man in die Rille einer Scheibe bekannter Größe legt. Der Rechner umgeht beides, indem er von der Geometrie ausgeht, die noch an der Maschine ist: zwei messbare Scheiben und ein messbarer Achsabstand, und nichts davon hat sich gedehnt.