Gestapelte Rabatte addieren sich nicht

Rabatte multiplizieren sich, sie addieren sich nicht

Denke daran, was übrig bleibt, statt daran, was weggenommen wird. Ein Rabatt von 20 % lässt 80 % des Preises stehen, also eine Multiplikation mit 0,80. Weitere 10 % lassen 90 % dessen stehen, was davorsteht, also eine Multiplikation mit 0,90. Beides zusammen lässt 0,80 × 0,90 = 0,72 des Ursprungs übrig, der Gesamtrabatt ist somit 1 − 0,72 = 0,28, achtundzwanzig Prozent. Die zweite Senkung ist absolut kleiner als die erste, weil sie auf eine kleinere Zahl wirkt — die fehlenden zwei Punkte sind exakt 10 % der bereits entfernten 20 %. Das ist der ganze Mechanismus, und er verallgemeinert sich sofort: Für jede Rabattkette ist der überlebende Anteil das Produkt der einzelnen überlebenden Anteile, und der Gesamtrabatt ist 1 − Π(1 − dᵢ).

Die Tabelle oben rechnet die gängigen Stapel durch. Beachte, wie der Fehler der naiven Summe mit der Größe der Senkungen wächst: 20 % und 10 % überschätzen nur um zwei Punkte, 40 % und 30 % aber um zwölf, und ein Laden, der 50 %, dann 30 %, dann 20 % bewirbt, verschenkt die Ware bei Weitem nicht — der wahre Wert ist 72 %, nicht 100 %. Tatsächlich kann keine Kette gewöhnlicher Rabatte je 100 % erreichen, denn jeder Faktor ist strikt positiv und ihr Produkt ebenso. Hundert aufeinanderfolgende 10-Prozent-Senkungen lassen immer noch 0,9¹⁰⁰ übrig, klein, aber nicht null. Das ist eine nützliche Plausibilitätsprüfung beim Lesen eines Angebots: Summieren sich die beworbenen Rabatte auf mehr als 100 %, wird die Rechnung nicht so geführt, wie du sie führen würdest.

Die Reihenfolge ist bei Prozenten egal und bei Gutscheinen entscheidend

Zwei Prozentrabatte kommutieren, und das lässt sich in einer Zeile zeigen: 0,80 × 0,90 und 0,90 × 0,80 sind beide 0,72. Bei einem Artikel für 120 € zahlst du 86,40 €, in welcher Reihenfolge die Kasse sie auch anwendet; jeder Streit am Tresen darüber, welche Aktion zuerst greifen soll, ist vergeudeter Atem. Das ist kein Zufall dieser konkreten Zahlen; Multiplikation ist für jedes Paar kommutativ, keine Anordnung reiner Prozentsätze kann das Ergebnis ändern. Behauptet ein Laden das Gegenteil, ist eines der Angebote kein Prozentsatz.

Nimm einen Gutschein über einen festen Betrag hinzu, und die Symmetrie bricht zusammen, denn eine Konstante abzuziehen und mit einem Faktor zu multiplizieren kommutiert nicht. Nimm einen Artikel für 120 € mit einer 25-Prozent-Aktion und einem 20-€-Gutschein. Prozentsatz zuerst: 120 × 0,75 = 90 €, minus Gutschein, 70 €. Gutschein zuerst: 120 − 20 = 100 €, minus 25 %, 75 €. Fünf echte Euro trennen die beiden Wege, und der Abstand ist nicht willkürlich — er ist stets der Gutschein mal dem Rabattsatz, hier 20 × 0,25 = 5. Erhöhe die Zahlen, und der Einsatz wächst: Bei einem Artikel für 200 € mit 40 % Rabatt und einem 30-€-Gutschein ergibt Prozentsatz zuerst 90 € und Gutschein zuerst 102 €, ein Abstand von 30 × 0,40 = 12 €. Prozentsatz zuerst ist immer besser für die Kundin, Gutschein zuerst immer besser für den Laden — deshalb steht die Reihenfolge in den Geschäftsbedingungen und wird nicht dem Zufall überlassen.

Was die Steuer mit der Antwort macht — und es ist nicht auf beiden Seiten des Atlantiks gleich

In Europa enthält der ausgezeichnete Preis bereits die Mehrwertsteuer, ein Prozentrabatt wirkt also genau auf das, was du bezahlst. Nimm einen Artikel für 120 € in einem Land mit 20 % Mehrwertsteuer: Das Etikett enthält 100 € netto und 20 € Steuer. Mit 20 % Rabatt zahlst du 96 €, davon 80 € netto und 16 € Steuer. Du sparst exakt 24 €, also exakt 20 % dessen, was du gezahlt hättest — keine Überraschung an der Kasse. Der Grund: Rabatt und Mehrwertsteuer sind zwei Multiplikationen, die kommutieren; 0,80 auf den Bruttopreis anzuwenden oder auf den Nettopreis und danach die Steuer wieder aufzuschlagen ergibt dieselben 96 €. Das System mit steuerinklusiven Auszeichnungspreisen macht das Versprechen also buchstäblich wahr.

Der interessante Fall bei steuerinklusiven Preisen ist der Gutschein über einen festen Betrag, denn er trägt seinen Steueranteil mit sich. Ein 20-€-Gutschein auf diesen 120-€-Artikel lässt 100 € zu zahlen, davon 83,33 € netto und 16,67 € Steuer: Der Gutschein selbst zerfällt in 16,67 € netto und 3,33 € Steuer. Der Händler verschenkt also nicht 20 € Marge, sondern 16,67 € Umsatz und holt sich die entsprechende Steuer zurück. Das erklärt, warum Ketten bei hohen Warenkörben oft Gutscheine den Prozentrabatten vorziehen und warum die Bedingungen fast immer festlegen, in welcher Reihenfolge die Vorteile greifen — ein Detail, das, wie gezeigt, dem Gutschein mal dem Rabattsatz entspricht.

Rückwärts gerechnet: der äquivalente Einzelrabatt

Die Frage, die Käuferinnen tatsächlich stellen, ist nicht, was der Stapel tut, sondern welchem Einzelrabatt er entspricht — und das folgt direkt aus derselben Formel: die überlebenden Anteile multiplizieren und von eins abziehen. Ein Stapel aus 20 % und 10 % entspricht einem einzelnen Rabatt von 28 %. 25 % und 15 % entsprechen 36,25 %. 50 %, 30 % und 20 % entsprechen 72 %. Angebote so zu lesen macht sie auf einen Blick vergleichbar — die einzige Art herauszufinden, ob die glatten 35 % eines Wettbewerbers den Laden gegenüber schlagen, der 25 % plus weitere 15 % bewirbt. Knapp ja: 35 % gegen 36,25 % ist eine Niederlage um etwas mehr als einen Punkt.

Dieselbe Formel beantwortet die Gestaltungsfrage von der anderen Seite. Willst du eine zweistufige Aktion, die exakt bei 50 % Rabatt landet, taugen zwei 25-Prozent-Senkungen nicht — das ergibt 43,75 %. Zwei gleiche Rabatte d, die sich zu 50 % kombinieren, müssen (1 − d)² = 0,5 erfüllen, also d = 1 − √0,5 = 29,29 %. Und wenn du einen Plakatstapel baust, denk daran, dass die erste Senkung die meiste Arbeit leistet: Nach 50 % Rabatt nehmen weitere 20 % nur noch zehn Punkte des Ursprungspreises weg. Der Marketinggewinn einer langen Kette kleiner Zusatzangebote ist weit geringer, als er auf dem Plakat aussieht — und genau deshalb landen lange Ketten auf Plakaten.

Der Aufschlag, der einen Rabatt aufhebt, ist größer als der Rabatt

Ein Rabatt von 20 % bringt einen Preis auf 80 % seiner selbst. Um zum Ursprung zurückzukehren, musst du durch 0,80 teilen, also mit 1,25 multiplizieren — ein Aufschlag von 25 %, nicht 20 %. Die allgemeine Regel: Einen Rabatt von d rückgängig zu machen erfordert einen Aufschlag von d ÷ (1 − d), und beide nähern sich nur bei sehr kleinen Werten an. Nach 25 % Rabatt brauchst du 33,33 %. Nach 30 % brauchst du 42,86 %. Nach 50 % musst du den Preis verdoppeln. Diese Asymmetrie ist keine Kuriosität: Sie ist der Grund, warum ein Händler, der Kosten von 100 um 20 % auf 120 aufschlägt und dann 20 % Rabatt bewirbt, zu 96 verkauft und vier Prozent auf die Kosten verliert. Um einen Prozentsatz aufzuschlagen und um denselben Prozentsatz zu rabattieren geht nie auf null auf.

Das zählt, wenn ein Rabatt in einer Einheit verhandelt und in einer anderen kalkuliert wird. Verlangt ein Käufer 15 % Rabatt und hat der Verkäufer 15 % Bruttomarge, halbiert das Zugeständnis den Gewinn nicht — es vernichtet ihn ganz und darüber hinaus, denn die Marge wurde auf den Verkaufspreis gerechnet, während der Rabatt auf denselben Verkaufspreis wirkt. Der saubere Weg durch solche Gespräche ist, vor jeder Zusage alles in Multiplikatoren umzurechnen: Kosten mal Aufschlag ergibt den Preis, Preis mal (1 − Rabatt) ergibt den vereinnahmten Betrag, und nur in dieser Form sind beide vergleichbar. Prozentsätze auf verschiedenen Basen addieren sich nicht, und in diesem Fall geht der Rechenfehler direkt vom Ergebnis ab.

Häufige Fragen

Sind 20 % Rabatt plus weitere 10 % dasselbe wie 30 %?

Nein. Es sind 28 %. Die erste Senkung lässt 80 % des Preises stehen, die zweite 90 % davon; es überleben also 0,80 × 0,90 = 0,72, und der Gesamtrabatt ist 1 − 0,72 = 0,28. Die fehlenden zwei Punkte sind exakt 10 % der bereits abgezogenen 20 %, weil der zweite Rabatt auf eine kleinere Zahl wirkt. Die allgemeine Regel: Der Gesamtwert ist 1 minus dem Produkt der überlebenden Anteile, und die naive Summe überschätzt ihn immer — umso mehr, je größer die Senkungen sind. 30 % und 20 % ergeben 44 % statt 50 %; 40 % und 30 % ergeben 58 % statt 70 %; 50 %, dann 30 %, dann 20 % ergeben 72 % statt der von der Addition suggerierten 100 %. Keine Kette gewöhnlicher Prozentrabatte kann je 100 % erreichen — eine nützliche Prüfung für jede Werbung.

Ändert die Reihenfolge der Rabatte den Endpreis?

Bei Prozentsätzen nicht, bei Gutscheinen über feste Beträge entscheidend. Zwei Prozentrabatte kommutieren, weil die Multiplikation kommutiert: 0,80 × 0,90 und 0,90 × 0,80 sind beide 0,72, ein Artikel für 120 € kostet also 86,40 €, egal in welcher Reihenfolge die Kasse sie anwendet. Nimm einen Gutschein in die Kette auf, und die beiden Wege trennen sich. Bei einem Artikel für 120 € mit 25 % Rabatt und einem 20-€-Gutschein ergibt der Prozentsatz zuerst 120 × 0,75 = 90 €, minus 20 € also 70 €; der Gutschein zuerst ergibt 120 − 20 = 100 €, minus 25 % also 75 €. Der Abstand ist stets der Gutschein mal dem Rabattsatz — hier 20 × 0,25 = 5 € — und wächst mit beiden. Bei einem 200-€-Artikel mit 40 % Rabatt und einem 30-€-Gutschein beträgt der Abstand 30 × 0,40 = 12 €. Prozentsatz zuerst begünstigt die Kundschaft, Gutschein zuerst den Laden, und seriöse Bedingungen nennen die geltende Reihenfolge.

Wie wirkt sich die Mehrwertsteuer auf einen Rabatt aus?

In Europa enthält der ausgezeichnete Preis bereits die Mehrwertsteuer, ein Prozentrabatt wirkt also genau auf das, was du zahlst, und an der Kasse gibt es keine Überraschung. Ein Artikel für 120 € in einem Land mit 20 % Mehrwertsteuer enthält 100 € netto und 20 € Steuer. Mit 20 % Rabatt zahlst du 96 €, also 80 € netto und 16 € Steuer, und sparst exakt 24 €. Der Grund: Rabatt und Steuer sind zwei kommutierende Multiplikationen; 0,80 auf den Brutto- oder auf den Nettopreis anzuwenden und danach die Steuer aufzuschlagen ergibt dasselbe. Gutscheine über feste Beträge verhalten sich anders, denn sie tragen ihren Steueranteil mit: Ein 20-€-Gutschein auf diesen Artikel lässt 100 € zu zahlen, also 83,33 € netto und 16,67 € Steuer, und der Gutschein selbst zerfällt in 16,67 € netto plus 3,33 € Steuer.

Welchem Einzelrabatt entspricht ein Stapel?

Multipliziere die überlebenden Anteile und ziehe das Ergebnis von eins ab: Der äquivalente Einzelrabatt ist 1 − Π(1 − dᵢ). Ein Stapel aus 20 % und 10 % entspricht einzelnen 28 %; 25 % und 15 % entsprechen 36,25 %; 30 % und 20 % entsprechen 44 %; 50 %, 30 % und 20 % zusammen entsprechen 72 %. Jedes Angebot in sein Einzeläquivalent umzurechnen ist die einzig verlässliche Art, sie zu vergleichen, und beendet Diskussionen schnell: Glatte 35 % verlieren gegen 25 % plus weitere 15 %, denn Letzteres sind 36,25 %. Die Formel funktioniert auch rückwärts, wenn du eine Aktion entwirfst. Zwei gleiche Senkungen, die sich exakt zu 50 % kombinieren sollen, sind nicht je 25 % — sie erfüllen (1 − d)² = 0,5, also d = 1 − √0,5 = 29,29 %. Beachte, dass keine Kette gewöhnlicher Prozentrabatte je 100 % erreicht, denn ein Produkt strikt positiver Faktoren ist strikt positiv.

Welcher Aufschlag hebt einen Rabatt von 20 % auf?

Fünfundzwanzig Prozent, nicht zwanzig. Ein Rabatt von 20 % lässt 80 % des Preises stehen; den Ursprung wiederherzustellen heißt also durch 0,80 zu teilen, das ist eine Multiplikation mit 1,25. Die allgemeine Regel: Einen Rabatt von d umzukehren erfordert einen Aufschlag von d ÷ (1 − d) — nach 25 % brauchst du 33,33 %, nach 30 % brauchst du 42,86 %, und nach 50 % musst du den Preis verdoppeln. Die Asymmetrie hat eine unmittelbare geschäftliche Folge. Ein Händler, der Kosten von 100 um 20 % auf 120 aufschlägt und dann 20 % Rabatt bewirbt, verkauft zu 96 und liegt vier Prozent unter den Kosten — aufschlagen und um denselben Prozentsatz rabattieren geht nie auf, weil beide Prozentsätze auf verschiedenen Basen berechnet werden. Verhandelst du Rabatte gegen eine Bruttomarge, rechne vor der Zusage alles in Multiplikatoren um: 15 % Rabatt bei 15 % Bruttomarge halbiert den Gewinn nicht, es löscht ihn aus.