Prozentpunkte sind keine Prozent

Zwei wahre Aussagen über eine Bewegung

Die Verwirrung besteht nicht darin, dass eine Beschreibung richtig und die andere falsch wäre. Sie besteht darin, dass beide zutreffen und Verschiedenes messen. Ein Prozentpunkt ist eine Differenz auf der Skala selbst: 5 % minus 4 % ist ein Prozentpunkt, so wie fünf Meter minus vier Meter ein Meter sind. Eine Prozentänderung ist ein Verhältnis: Der Anstieg um eins, geteilt durch den Ausgangswert vier, ergibt 0,25 — der Satz stieg also um fünfundzwanzig Prozent. Das Erste beantwortet „wie weit hat er sich auf der Skala bewegt“, das Zweite „um wie viel größer ist er als vorher“. Ein Satz kann sich im einen Maß stark und im anderen kaum bewegen, und nichts an den Wörtern Prozent und Prozentpunkt verrät der Leserin, welches gemeint ist.

Die Tabelle oben macht die Divergenz an sieben Paaren sichtbar. Beachte, dass sich die Punktespalte und die Prozentspalte unabhängig bewegen: Ein Anstieg um einen Punkt ist von 1 % aus hundert Prozent wert, von 2 % aus fünfzig und von 4 % aus fünfundzwanzig, während ein Anstieg um fünf Punkte von 20 % aus fünfundzwanzig Prozent und von 50 % aus nur zehn Prozent wert ist. Die relative Lesart ist umgekehrt proportional zur Basis; wer also eine Veränderung von kleiner Basis aus berichtet, kann fast beliebig beeindruckende Prozentzahlen erzeugen. Der umgekehrte Trick funktioniert ebenso: Berichte eine Veränderung von großer Basis relativ, und sie klingt belanglos. Keines von beidem ist eine Lüge. Beides sind Entscheidungen darüber, welche wahre Zahl gedruckt wird.

Wo der Unterschied die Entscheidung ändert

Nimm einen Zinssatz. Ein Dreißigjahresdarlehen über 300 000 € kostet bei 4 % monatlich 1 432,25 €, bei 5 % kostet es 1 610,46 €. Das ist ein Prozentpunkt auf den Satz, 12,4 % mehr bei der Monatsrate und 64 158,83 € mehr an Gesamtzinsen — ein Anstieg um 29,8 % bei dem, was du der Bank über die Laufzeit überreichst. Drei legitime Prozentzahlen, eine zugrunde liegende Bewegung, und jede stützt einen anderen Satz. Wenn ein Makler sagt, der Satz sei „nur um einen Punkt“ gestiegen, und ein Kommentator schreibt, die Kreditkosten seien „um dreißig Prozent gesprungen“, beschreiben beide dasselbe Ereignis, und keiner lügt dich an.

Dieselbe Spaltung zeigt sich bei Steuern und bei Konversion. Hebe einen Einkommensteuersatz von 20 % auf 22 %: Der Satz bewegte sich um zwei Punkte, die Steuerrechnung stieg um 10 %, und das Netto fiel von 80 % auf 78 % des Brutto — ein relativer Rückgang von nur 2,5 %. Bei 50 000 Einkommen werden aus 10 000 Steuer 11 000 und aus 40 000 netto 39 000. Drei Schlagzeilen, alle vertretbar, alle in verschiedene Richtungen zeigend. Auf der kommerziellen Seite arbeitet der Effekt für dich: Eine Konversionsrate von 2,0 % auf 2,5 % zu heben ist ein halber Prozentpunkt, was vernachlässigbar klingt, aber ein relativer Zuwachs von 25 % ist — bei 100 000 Sitzungen werden aus 2 000 Bestellungen 2 500, und bei einem durchschnittlichen Bestellwert von 60 steigt der Umsatz von 120 000 auf 150 000. Ein halber Punkt ist 30 000 wert. Die Regel gilt fürs Lesen wie fürs Schreiben: Sage immer, welches Maß du verwendest, und wenn eine Quelle es nicht tut, rechne das andere aus, bevor du handelst.

Rauf und runter um denselben Prozentsatz führt nicht zum Anfang zurück

Multipliziere, addiere nicht. Ein Anstieg um x ist eine Multiplikation mit (1 + x), ein Rückgang um x eine Multiplikation mit (1 − x); beides in beliebiger Reihenfolge multipliziert also mit (1 + x)(1 − x). Ausmultipliziert heben sich die gemischten Glieder auf: Das Produkt ist 1 − x². Für jedes x ungleich null ist es kleiner als 1, du landest also stets unter dem Ausgangspunkt, und das Defizit ist exakt das Quadrat der Bewegung. Steige um 10 % und falle um 10 %: Es bleiben 0,99, ein Verlust von 1 %. Steige um 20 % und falle um 20 %: Es bleiben 0,96, ein Verlust von 4 %. Steige um 50 % und falle um 50 %: Es bleiben 0,75 — ein Viertel des Werts ist bei zwei Bewegungen verschwunden, die sich aufzuheben scheinen. Die Reihenfolge spielt keine Rolle, weil Multiplikation kommutiert — eine andere Art zu sagen, dass der Verlust strukturell ist und nicht eine Frage der Abfolge.

Das praktische Korollar ist die Erholungsregel, jene, bei der man sich mit Geld im Spiel am häufigsten irrt. Um einen Rückgang von d rückgängig zu machen, brauchst du einen Anstieg von d ÷ (1 − d), der stets größer ist. Nach einem Rückgang von 20 % brauchst du 25 %. Nach 25 % brauchst du 33,33 %. Nach 50 % brauchst du 100 % — eine Verdopplung —, um wieder dort zu sein, wo du warst. Deshalb werden Portfolio-Drawdowns so sorgfältig zitiert, deshalb sind ein Rabatt und der Aufschlag, der ihn umkehrt, nie dieselbe Zahl, und deshalb ist es sinnlos, prozentuale Veränderungen über Perioden zu mitteln, ohne die Faktoren zu multiplizieren und die Wurzel zu ziehen. Addiere Prozentsätze nur, wenn sie sich eine Basis teilen; sonst multipliziere.

Prozentsätze verschiedener Basen lassen sich nicht addieren

Ein Prozentsatz ist ohne die Zahl, von der er ein Prozentsatz ist, bedeutungslos, und zwei auf verschiedenen Basen berechnete Prozentsätze sind nicht vergleichbar. Senkt eine Abteilung die Kosten um 10 % und eine andere um 20 %, hat das Unternehmen die Kosten nicht um 30 % gesenkt, auch nicht um 15 % und um keine Zahl, die sich allein aus diesen beiden ableiten ließe — du brauchst die tatsächlichen Budgets. Sie ungewichtet zu mitteln ist die häufigste Variante des Fehlers, und sie unterstellt stillschweigend, dass beide Basen gleich groß sind. Dieselbe Falle steckt in jeder Umfragezusammenfassung, die Prozentsätze nach Untergruppen ausweist und dann eine Gesamtzahl nennt: Sind die Untergruppen nicht gleich groß, ist der Gesamtprozentsatz nicht der Mittelwert der Untergruppenprozentsätze, und die Abweichung reicht manchmal aus, um die Schlussfolgerung umzudrehen.

Die verwandte Formulierungsfalle ist „von“ gegen „mehr als“. Hundertfünfzig Prozent von 80 sind 1,5 × 80 = 120. Hundertfünfzig Prozent mehr als 80 sind 80 + 1,5 × 80 = 200. Beide unterscheiden sich um den Ausgangsbetrag, und der Abstand wächst mit dem Multiplikator — Grund genug, die Formulierung in jedem Vertrag oder Angebot zweimal zu lesen. Dasselbe gilt am unteren Ende: „doppelt so schnell“ und „hundert Prozent schneller“ bedeuten dasselbe, während „zweihundert Prozent schneller“ dreimal so schnell heißt, nicht doppelt. Im Zweifel formuliere die Behauptung als Multiplikator um — diese Form ist völlig eindeutig.

Basispunkte: die Lösung, die die Finanzwelt tatsächlich übernahm

Märkte bewegen Zinsen in kleinen Schritten und können sich keinen doppeldeutigen Satz leisten, also erfanden sie eine Einheit mit nur einer Lesart. Ein Basispunkt ist ein Hundertstel Prozentpunkt: 100 Basispunkte sind ein Prozentpunkt, 25 Basispunkte ein Viertelpunkt. Eine Zentralbank, die die Zinsen um 25 Basispunkte anhebt, bringt 4,00 % auf 4,25 % — eindeutig. Und das ist ein relativer Anstieg von 6,25 %, genau die Zahl, über die gestritten worden wäre, hätte jemand „ein Viertelprozent“ geschrieben. Die Einheit ist auf der Skala konstruktionsbedingt additiv, Basispunkte lassen sich also gedankenlos addieren und subtrahieren — genau das, was ein Handelstisch braucht.

Es lohnt sich zu verinnerlichen, was ein Basispunkt kauft. Fünfundzwanzig Basispunkte auf eine Million Kapital sind 2 500 im Jahr: 4,00 % bringen 40 000, 4,25 % bringen 42 500. Eine kleine Zahl beim Satz und eine reale Zahl beim Zahlungsstrom — dieser Bruch ist der ganze Grund für die Einheit. Diese Disziplin kannst du außerhalb der Finanzwelt kostenlos übernehmen. Berichte Konversionsraten, Fehlerraten, Marktanteile und Impfquoten in Punkten, wenn du die Differenz auf der Skala meinst, in Prozent, wenn du die relative Änderung meinst, und sage im selben Satz, welches von beiden. Das kostet drei Wörter mehr und beseitigt eine ganze Klasse von Streitigkeiten.

Häufige Fragen

Was ist der Unterschied zwischen einem Prozentpunkt und einem Prozent?

Ein Prozentpunkt ist die arithmetische Differenz zwischen zwei Prozentsätzen; eine Prozentänderung ist die relative Differenz. Von 4 % auf 5 % zu gehen ist ein Anstieg um einen Prozentpunkt, denn 5 − 4 = 1, und gleichzeitig ein Anstieg um fünfundzwanzig Prozent, denn 1 ÷ 4 = 0,25. Beide Beschreibungen sind korrekt und beantworten verschiedene Fragen: Die erste fragt, wie weit sich der Satz auf der Skala bewegt hat, die zweite, um wie viel größer er als zuvor ist. Der Abstand zwischen beiden Lesarten wächst, je kleiner die Basis wird — ein Punkt sind hundert Prozent von einer Basis von 1 % aus, fünfzig Prozent von 2 %, fünfundzwanzig Prozent von 4 % und nur zwei Prozent von 50 %. Wann immer du eine Änderung eines Satzes berichtest, nenne das Maß ausdrücklich, denn die Leserin kann es nicht erschließen, und die beiden Zahlen können sich um eine Größenordnung unterscheiden.

Wenn ein Preis um 50 % steigt und dann um 50 % fällt, ist er wieder am Ausgangspunkt?

Nein. Er endet bei 75 % des Ausgangswerts, ein Verlust von einem Viertel. Ein Anstieg um x multipliziert mit (1 + x), ein Rückgang um x mit (1 − x), das Paar also mit (1 + x)(1 − x) = 1 − x². Für x = 0,5 ist das 1 − 0,25 = 0,75. Das Defizit ist stets das Quadrat der Bewegung, also klein bei kleinen und brutal bei großen Bewegungen: 10 % hoch und runter lässt 0,99, 20 % lässt 0,96, 50 % lässt 0,75 und 80 % lässt 0,36. Die Reihenfolge ändert nichts, weil Multiplikation kommutiert. Das Korollar ist die Erholungsregel: Einen Rückgang von d rückgängig zu machen erfordert einen Anstieg von d ÷ (1 − d) — ein Rückgang um 20 % erfordert 25 %, um 25 % erfordert 33,33 %, und um 50 % erfordert 100 %, also eine Verdopplung.

Was ist ein Basispunkt?

Ein Hundertstel Prozentpunkt, 100 Basispunkte entsprechen also einem Prozentpunkt und 25 Basispunkte einem Viertelpunkt. Die Einheit existiert genau dafür, die Mehrdeutigkeit zu beseitigen, um die es in diesem Artikel geht: Ein Basispunkt ist stets eine Differenz auf der Skala und nie eine relative Änderung, lässt sich also ohne Fehllesegefahr addieren und subtrahieren. Ein Satz, der von 4,00 % um 25 Basispunkte steigt, wird zu 4,25 % — was zugleich ein relativer Anstieg von 6,25 % ist, und genau diese zweite Zahl hätte Streit ausgelöst, hätte jemand „ein Viertelprozent“ geschrieben. Die finanziellen Beträge erzwangen die Konvention: 25 Basispunkte auf eine Million Kapital sind 2 500 im Jahr, denn 4,00 % bringen 40 000 und 4,25 % bringen 42 500. Dieselbe Disziplin kannst du in jedem Feld übernehmen, das Raten berichtet.

Kann ich Prozentsätze addieren oder mitteln?

Nur wenn sie dieselbe Basis teilen. Zwei auf verschiedenen Nennern berechnete Prozentsätze sind nicht vergleichbar; senkt also eine Abteilung die Kosten um 10 % und eine andere um 20 %, hat das Unternehmen weder 30 % noch 15 % gesenkt — ohne die tatsächlichen Budgets ist die Frage unbeantwortbar. Ungewichtetes Mitteln unterstellt stillschweigend gleiche Basen, die häufigste Form des Fehlers, und deshalb ist ein Gesamtprozentsatz einer Umfrage in der Regel nicht der Mittelwert der Untergruppenprozentsätze, sofern die Untergruppen nicht zufällig gleich groß sind. Aufeinanderfolgende Änderungen sind noch schlimmer: Sie werden multipliziert, nicht addiert. Drei aufeinanderfolgende Rückgänge um 10 % lassen 0,9³ = 0,729, also einen Gesamtrückgang von 27,1 % statt 30 %. Um eine Reihe von Änderungen zu mitteln, multipliziere die Faktoren und ziehe die n-te Wurzel — das geometrische Mittel — statt die Prozentsätze selbst zu mitteln.

Bedeutet „150 % von“ dasselbe wie „150 % mehr als“?

Nein, und beide unterscheiden sich exakt um den Ausgangsbetrag. Hundertfünfzig Prozent von 80 sind 1,5 × 80 = 120. Hundertfünfzig Prozent mehr als 80 sind 80 + 1,5 × 80 = 200. Das Erste ist ein auf die Basis angewandter Multiplikator, das Zweite ein auf die Basis aufgesetzter Zuwachs. Der Abstand wächst mit dem Prozentsatz, weshalb sich die Formulierung in jedem Vertrag, Angebot oder Leistungsversprechen ein zweites Lesen lohnt. Dieselbe Unterscheidung lauert in Vergleichen von Geschwindigkeit und Größe: „doppelt so schnell“ und „hundert Prozent schneller“ stimmen überein, aber „zweihundert Prozent schneller“ heißt dreimal so schnell, nicht doppelt. Beim Schreiben ist es am sichersten, stattdessen einen Multiplikator zu nennen — „1,5-mal“ oder „2,5-mal“ —, denn ein Multiplikator hat genau eine Lesart und braucht keine Konvention.

Was kostet ein Zinsanstieg um einen Punkt bei einem Darlehen wirklich?

Weit mehr als ein Prozent, und die Antwort hängt davon ab, welche Zahl du ansiehst. Nimm ein Dreißigjahresdarlehen über 300 000 €. Bei 4 % beträgt die Monatsrate 1 432,25 €, bei 5 % sind es 1 610,46 €. Das ist ein Prozentpunkt auf den Satz, 178,22 € mehr im Monat und ein Anstieg der Rate um 12,4 %. Schau auf die Gesamtzinsen über die volle Laufzeit, und das Bild ändert sich erneut: 215 608,52 € bei 4 % gegen 279 767,35 € bei 5 %, also 64 158,83 € mehr, ein Anstieg um 29,8 %. Eine Bewegung, drei legitime Prozentzahlen, jede stützt einen anderen Satz — und genau deshalb können eine Schlagzeile, die Zinsen seien „nur um einen Punkt“ gestiegen, und eine andere, die Kreditkosten seien „um dreißig Prozent gesprungen“, dasselbe Ereignis beschreiben, ohne dass eine falsch wäre. Rechne vor jeder Unterschrift die Monatszahl und die Laufzeitzahl aus, denn sie beantworten verschiedene Fragen zum selben Darlehen.