Was ist ein Z-Wert? Standardabweichungen über dem Mittelwert

Die Formel und was jeder Teil bedeutet

Der Z-Wert zieht den Mittelwert ab und teilt dann durch die Standardabweichung: z = (x − μ) / σ. Die Subtraktion zentriert die Daten neu, sodass der Mittelwert bei null liegt, und die Division skaliert sie so, dass eine Einheit einer Standardabweichung entspricht. Heraus kommt eine reine Zahl, die sagt, wie viele Standardabweichungen und in welche Richtung der Wert vom Zentrum entfernt liegt.

Nimm eine Prüfung mit Mittelwert μ = 70 und Standardabweichung σ = 8. Ein Ergebnis x = 86 ergibt z = (86 − 70) / 8 = 16 / 8 = 2, also zwei Standardabweichungen über dem Schnitt. Ein Ergebnis von 62 ergibt z = (62 − 70) / 8 = −1, eine darunter. Das Vorzeichen trägt die Richtung: positiv über dem Mittel, negativ darunter, und der Betrag sagt, wie ungewöhnlich der Wert ist.

Die Standardnormalverteilung lesen

Folgen die Daten einer Normalverteilung, ordnen sich Z-Werte auf der Standardnormalverteilung ein — einer Glocke mit Mittelwert 0 und Standardabweichung 1. Die empirische Regel fasst es zusammen: rund 68 % der Werte liegen in z = ±1, rund 95 % in ±2 und rund 99,7 % in ±3. Ein Z-Wert jenseits von ±3 ist wirklich selten und betrifft deutlich unter 1 % einer normalen Population.

Da die Kurve symmetrisch ist, spiegeln sich negative und positive Z-Werte. Ein z von +1 und ein z von −1 liegen gleich weit vom Zentrum auf entgegengesetzten Seiten. Diese Symmetrie erlaubt es einer einzigen Z-Tabelle, alle Fälle abzudecken: den positiven Wert nachschlagen und für den negativen die Symmetrie nutzen.

Einen Z-Wert in ein Perzentil umwandeln

Ein Perzentil ist der Anteil der Werte, die unter deinem liegen. Die Fläche unter der Standardnormalverteilung links von einem Z-Wert liefert diesen Anteil direkt. Ein z von 0 liegt beim 50. Perzentil — die Hälfte der Werte liegt darunter. Ein z von +1 entspricht etwa dem 84. Perzentil und +2 etwa dem 97,7. — ein Wert zwei Standardabweichungen über dem Mittel übertrifft also rund 98 % der Gruppe.

Hier zeigen Z-Werte ihren Nutzen für den Vergleich. Angenommen, du erreichst 86 in einem Test mit Mittel 70 und σ = 8 (z = 2), während ein Freund 130 in einem anderen Test mit Mittel 100 und σ = 20 (z = 1,5) erreicht. Obwohl 130 die größere Rohzahl ist, setzt dich dein z von 2 höher auf die Kurve — etwa das 98. gegenüber dem 93. Perzentil — relativ zu jeder Gruppe warst du also besser.

Häufige Fragen

Was bedeutet ein negativer Z-Wert?

Ein negativer Z-Wert bedeutet einfach, dass der Wert unter dem Mittel liegt. Ein z von −1,5 etwa liegt eineinhalb Standardabweichungen unter dem Schnitt. Das Vorzeichen zeigt die Richtung, nicht die Qualität.

Brauche ich normalverteilte Daten für einen Z-Wert?

Nein. Die Formel z = (x − μ) / σ funktioniert für jeden Datensatz. Einen Z-Wert über die Standardnormalverteilung in ein Perzentil umzuwandeln, ist aber nur bei annähernd normalen Daten gültig.

Was ist der Unterschied zwischen σ und einem Z-Wert?

Die Standardabweichung σ ist die Streuung der Daten in ihren eigenen Einheiten. Ein Z-Wert drückt den Abstand eines Werts vom Mittel in diesen σ-Einheiten aus, ist also einheitenlos. σ beschreibt den ganzen Satz; ein Z-Wert einen Punkt.

Ab wann gilt ein Z-Wert als ungewöhnlich hoch?

Als Faustregel ist |z| über 2 recht ungewöhnlich (außerhalb der ~95 % der Werte) und |z| über 3 selten (außerhalb der ~99,7 %). Viele Analysten markieren Werte jenseits von ±3 als mögliche Ausreißer zur Prüfung.