355/113 est bon parce que le terme suivant vaut 292

Le nombre d'or est le nombre le plus difficile à approcher

Si de grands termes signifient de bonnes approximations, le nombre sans aucun grand terme doit être le pire cas — et ce nombre est le nombre d'or, dont le développement vaut [1 ; 1, 1, 1, 1, …] sans fin. Ses réduites sont des rapports de nombres de Fibonacci consécutifs, 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, chacune améliorant la précédente de la plus petite marge possible. Ce n'est pas une curiosité : un tournesol qui range ses graines selon un angle lié au nombre d'or n'aligne jamais deux graines successives, précisément parce qu'aucune fraction simple n'approche bien cet angle. Être mal approchable est ici la propriété utile.

Un motif périodique signale un irrationnel d'un type précis

La racine carrée de deux se développe en [1 ; 2, 2, 2, 2, …], répétant un seul terme sans fin, et toute racine carrée d'un entier non carré se comporte ainsi — le motif finit par cycler. C'est un théorème, et il vaut dans les deux sens : une fraction continue dont les termes deviennent périodiques est toujours la racine d'une équation du second degré à coefficients entiers, et une qui ne s'installe jamais dans un motif est autre chose. Le développement de π n'a aucun motif que quiconque ait trouvé, ce qui s'accorde avec ce qu'on sait de lui. Le cas fini est plus simple encore : un développement qui s'arrête est un rationnel, et 415/93 s'arrêtant après quatre termes est tout le contenu de cette phrase.

Questions fréquentes

Pourquoi 22/7 est-il si connu si 355/113 vaut bien mieux ?

Parce qu'il est assez court pour être retenu et assez juste pour la plupart des usages qu'on en faisait. 22/7 se trompe de quatre centièmes de pour cent, invisible dans toute mesure prise à la règle et suffisant pour l'arithmétique d'atelier ; 355/113 se trompe de moins d'un dix-millionième, ce dont personne n'a besoin à moins de pousser le calcul à de nombreuses décimales. Les réduites forment une échelle où la précision s'échange contre la mémorabilité, et 22/7 occupe le barreau où le troc est le plus favorable au calcul mental. Là où il faut plus de précision, il y a généralement aussi une calculatrice.

Où les fractions continues servent-elles en pratique ?

Partout où un rapport doit être bâti avec des objets entiers. Un train d'engrenages approche un rapport de vitesse arbitraire avec des nombres de dents entiers, et les réduites donnent les plus petits pignons qui s'en approchent assez ; les règles calendaires approchent la durée de l'année avec des jours entiers et des années bissextiles ; les tempéraments musicaux approchent une octave avec un nombre entier de degrés. La même mécanique se retrouve dans les algorithmes de réduction de fractions et de reconstitution d'un rationnel à partir d'un décimal, ce qui permet à un système de calcul formel de reconnaître que 0,142857142857 est un septième et non un long décimal.