Che cos'è un fattoriale? n! spiegato in modo semplice

La definizione in una riga

Per un intero positivo n, il fattoriale n! vale n x (n-1) x (n-2) x ... x 2 x 1. Così 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 e 6! = 720. Ogni fattoriale si basa sul precedente: n! = n x (n-1)!, ecco perché 5! è solo 5 volte 4!.

Il valore che confonde è 0!, che vale 1 e non 0. Sembra strano, ma mantiene valide la regola ricorsiva e le formule di combinazione. C'è esattamente un modo di ordinare nulla — la disposizione vuota — quindi contarlo come 1 è la scelta coerente.

Quanto in fretta crescono i fattoriali

I fattoriali esplodono. 5! è 120, 10! è già 3.628.800 e 20! è circa 2,43 trilioni. Questa crescita supera qualsiasi esponenziale come 2^n, perché ogni passo moltiplica per un numero più grande, non per lo stesso. Ecco perché ordinare anche pochi oggetti dà un numero astronomico di disposizioni.

Perché i fattoriali contano per contare

Un fattoriale risponde a una domanda precisa: in quanti ordini si possono disporre n oggetti distinti? Con 3 libri ci sono 3! = 6 disposizioni. Le permutazioni di r oggetti su n usano n! / (n-r)!, e le combinazioni — dove l'ordine non conta — usano n! / (r! (n-r)!). Entrambe le formule sono fatte di fattoriali.

Domande frequenti

Perché 0! è uguale a 1?

C'è esattamente un modo di ordinare un insieme vuoto — non fare nulla — quindi 0! = 1. Mantiene inoltre valida la regola n! = n x (n-1)! in n = 1 e fa funzionare le combinazioni.

Si può calcolare il fattoriale di un numero negativo?

No, con la definizione standard — i fattoriali sono definiti per interi non negativi. Una funzione affine, la funzione gamma, estende l'idea ad altri valori, ma n! ordinario si ferma a 0.

Quanto può crescere un fattoriale prima di far traboccare una calcolatrice?

Molte calcolatrici tascabili si fermano intorno a 69!, circa 1,7 x 10^98. Oltre serve un software che gestisca interi molto grandi, perché i fattoriali crescono più in fretta di quasi ogni altra funzione.

Qual è la differenza tra un fattoriale e una potenza?

Una potenza come 3^4 moltiplica lo stesso numero quattro volte (81). Un fattoriale moltiplica numeri decrescenti, quindi 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24. I fattoriali usano un numero diverso a ogni passo e crescono molto più in fretta con valori grandi.