Combinazioni e permutazioni: quando conta l'ordine
Pubblicato il 28/07/2025 · 3 min di lettura · Calcolatrici quotidiane
Lena Hoffmann — Redattrice Scienza e Istruzione presso OneKitly
Matematica · Fisica
Verificato su 2 fonti
Una permutazione conta disposizioni ordinate, mentre una combinazione conta selezioni senza ordine. Usa le permutazioni (nPr = n! / (n − r)!) quando conta la sequenza, come nel classificare i corridori di una gara. Usa le combinazioni (nCr = n! / (r! · (n − r)!)) quando conta solo il gruppo, come nello scegliere un comitato. Per gli stessi n e r ci sono sempre più permutazioni che combinazioni, perché ogni combinazione può essere riordinata in r! modi.
La differenza tra combinazioni e permutazioni si riduce a una domanda: conta l'ordine? Scopri le formule nCr e nPr con esempi svolti.
L'unica domanda che decide
Prima di scegliere una formula, chiediti se riordinare gli stessi elementi produce un risultato diverso. Se sì, l'ordine conta e ti serve una permutazione. Se riordinare non cambia nulla, l'ordine è irrilevante e ti serve una combinazione.
Una prova rapida: un podio di gara è una permutazione, perché oro, argento e bronzo sono posizioni distinte. Una manciata di numeri del lotto è una combinazione, perché il biglietto vince a prescindere dall'ordine di estrazione delle palline.
Le due formule a confronto
La formula delle permutazioni è nPr = n! / (n − r)!, dove n è il numero di elementi disponibili e r quanti ne disponi. La formula delle combinazioni divide quel risultato per r! per annullare gli ordinamenti: nCr = n! / (r! · (n − r)!). Proprio quell'r! in più al denominatore rende le combinazioni sempre il conteggio minore.
Nota che n! (fattoriale di n) è il prodotto 1 × 2 × ... × n, e 0! è definito come 1. Questa convenzione mantiene valide le formule quando r è uguale a n, dove c'è esattamente un modo di disporre o selezionare tutto.
Un esempio con gli stessi numeri
Prendi 5 persone e scegline 3. Le permutazioni sono nPr = 5! / (5 − 3)! = 120 / 2 = 60 schieramenti ordinati. Le combinazioni sono nCr = 5! / (3! · 2!) = 120 / (6 × 2) = 10 gruppi senza ordine. Il rapporto 60 / 10 = 6 è esattamente 3!, il che conferma che ogni gruppo di 3 può essere ordinato in 6 modi.
Questa relazione si generalizza: nPr = nCr × r!. Ogni volta che hai già un conteggio di combinazioni, moltiplica per r! per ottenere quello delle permutazioni, e dividi per r! per il verso opposto.
Esempio calcolato con il nostro strumento
Calcolatrice combinazioni (nCr)
Dati
- n (totale)
- 20
- r (scelti)
- 6
Risultato
- nCr
- 38.760
Queste cifre sono prodotte dal calcolatore qui sotto, non digitate a mano — vengono ricalcolate a ogni modifica dello strumento.
Rifarlo con i tuoi numeri →Domande frequenti
- Il «codice» di un lucchetto è davvero una combinazione?
- No, matematicamente è una permutazione. Su un lucchetto, 1-2-3 e 3-2-1 aprono lucchetti diversi, quindi l'ordine conta e il termine corretto è permutazione nonostante il nome comune.
- Quale è sempre maggiore per gli stessi n e r?
- Le permutazioni sono sempre almeno altrettanto grandi, perché nPr = nCr × r!. Sono uguali solo quando r è 0 o 1, poiché 0! e 1! valgono entrambi 1.
- La ripetizione cambia le formule?
- Sì. Le formule qui presuppongono ogni elemento usato al più una volta (senza ripetizione). Se gli elementi possono ripetersi, si usano formule diverse, come n^r per selezioni ordinate con ripetizione.
- Come si lega nCr al triangolo di Pascal?
- Ogni voce del triangolo di Pascal è un conteggio di combinazioni: il valore nella riga n, posizione r, è nCr. Per questo quei numeri compaiono come coefficienti nello sviluppo di (a + b)^n.
Articoli che potrebbero interessarti
Tutte le guide →Strumenti correlati
Fonti
Hai notato un errore in questo articolo?