Come funzionano gli esponenti: potenze e leggi

Gli esponenti sono moltiplicazione ripetuta

Scrivere 2^4 è una forma breve di 2 × 2 × 2 × 2. La base è il numero moltiplicato (2), e l'esponente, o potenza, quante copie moltiplichi (4). Così 2^4 = 16 e 10^3 = 1.000. La notazione esiste perché la moltiplicazione ripetuta cresce in fretta e sarebbe noiosa da scrivere — 2^10 è già 1.024.

Due nomi ricorrono spesso: elevare alla potenza 2 si dice al quadrato (perché 5^2 è l'area di un quadrato di lato 5), ed elevare alla potenza 3 si dice al cubo (il volume di un cubo). Il resto si legge "elevato a" — 7^5 è "sette elevato a cinque".

Le leggi degli esponenti

Tre regole centrali fanno quasi tutto. Moltiplicare potenze con la stessa base somma gli esponenti: 2^3 × 2^2 = 2^(3+2) = 2^5, perché moltiplichi cinque 2 di fila. Dividere li sottrae: 2^5 ÷ 2^2 = 2^(5−2) = 2^3, poiché due fattori si annullano. Elevare una potenza a potenza li moltiplica: (2^3)^2 = 2^(3×2) = 2^6, perché prendi tre 2 e ripeti due volte.

La regola dell'esponente zero deriva da quella della divisione. Poiché 2^3 ÷ 2^3 = 2^(3−3) = 2^0, e ogni numero diviso per sé stesso è 1, deve essere 2^0 = 1. Vale per ogni base diversa da zero: 5^0, 100^0 e (−3)^0 sono tutti 1.

Esponenti negativi e frazionari

Un esponente negativo significa prendere il reciproco: 2^−1 = 1 ÷ 2 = 0,5, e 2^−3 = 1 ÷ 2^3 = 1 ÷ 8 = 0,125. Scendendo le potenze di 2 — 8, 4, 2, 1 — ogni passo dimezza, quindi continuare oltre 2^0 = 1 porta naturalmente a ½, ¼, ecc. Gli esponenti negativi mantengono quel motivo sotto lo zero.

Un esponente frazionario significa una radice. Il denominatore dà la radice e il numeratore la potenza: 9^(1/2) è la radice quadrata di 9, cioè 3, e 8^(1/3) è la radice cubica di 8, cioè 2. Combinandoli, 8^(2/3) = (8^(1/3))^2 = 2^2 = 4. Per questo radici e potenze sono la stessa operazione vista da due lati.

Domande frequenti

Perché tutto elevato a zero è uno?

Perché dividere una potenza per sé stessa dà 1, e per la regola degli esponenti dà anche quella base elevata a zero. Entrambi devono coincidere, quindi ogni base diversa da zero elevata a zero è 1.

Quanto fa zero elevato a zero?

È un caso speciale senza una risposta unica condivisa. Molti contesti definiscono 0^0 = 1 per comodità, ma in senso stretto è indeterminato. La maggior parte delle regole comuni assume una base diversa da zero.

In cosa differisce 2^3 da 2 × 3?

2 × 3 somma 2 tre volte e fa 6. 2^3 moltiplica 2 per sé stesso tre volte e fa 8. Gli esponenti crescono molto più in fretta della moltiplicazione.

Un esponente può essere decimale?

Sì. Un esponente decimale è solo uno frazionario scritto diversamente: 2^0,5 è uguale a 2^(1/2), la radice quadrata di 2, circa 1,414. Le calcolatrici gestiscono così ogni esponente reale.