Gli sconti cumulati non si sommano

Gli sconti si moltiplicano, non si sommano

Ragiona su ciò che sopravvive invece che su ciò che viene tolto. Uno sconto del 20 % lascia l'80 % del prezzo, cioè una moltiplicazione per 0,80. Un ulteriore 10 % lascia il 90 % di quello che ha davanti, una moltiplicazione per 0,90. Applicare entrambi lascia 0,80 × 0,90 = 0,72 dell'originale, quindi lo sconto totale è 1 − 0,72 = 0,28, ventotto per cento. Il secondo taglio è più piccolo in valore assoluto del primo perché opera su un numero più piccolo — i due punti mancanti sono esattamente il 10 % del 20 % già tolto. È tutto qui il meccanismo, e si generalizza subito: per qualunque catena di sconti, la frazione superstite è il prodotto delle singole frazioni superstiti, e lo sconto totale è 1 − Π(1 − dᵢ).

La tabella qui sopra percorre i cumuli più comuni. Nota come l'errore della somma ingenua cresce con la dimensione dei tagli: 20 % e 10 % sovrastima di soli due punti, ma 40 % e 30 % sovrastima di dodici, e un negozio che pubblicizza 50 % poi 30 % poi 20 % è lontanissimo dal regalare la merce — la cifra vera è 72 %, non 100 %. In realtà nessuna catena di sconti ordinari può mai raggiungere il 100 %, perché ogni fattore è strettamente positivo e così il loro prodotto. Cento tagli successivi del 10 % lasciano ancora 0,9¹⁰⁰, piccolo ma non nullo. È un controllo di buon senso utile leggendo un'offerta: se gli sconti pubblicizzati sommano più del 100 %, l'aritmetica non viene fatta come la faresti tu.

L'ordine è irrilevante per le percentuali e decisivo per i buoni

Due sconti percentuali commutano, e lo si dimostra in una riga: 0,80 × 0,90 e 0,90 × 0,80 fanno entrambi 0,72. Su un articolo da 120 € paghi 86,40 € in qualunque ordine la cassa li applichi, quindi qualsiasi discussione al banco su quale promozione debba venire prima è fiato sprecato. Non è una coincidenza di questi numeri specifici; la moltiplicazione è commutativa per ogni coppia, quindi nessun ordinamento di percentuali pure può cambiare il risultato. Se un negozio sostiene il contrario, una delle offerte non è una percentuale.

Aggiungi un buono di importo fisso e la simmetria crolla, perché sottrarre una costante e moltiplicare per un fattore non commutano. Prendi un articolo da 120 € con una promozione del 25 % e un buono da 20 €. Prima la percentuale: 120 × 0,75 = 90 €, meno il buono, 70 €. Prima il buono: 120 − 20 = 100 €, meno il 25 %, 75 €. Cinque euro veri separano i due percorsi, e lo scarto non è arbitrario — è sempre il buono moltiplicato per il tasso di sconto, qui 20 × 0,25 = 5. Alza i numeri e la posta cresce: su un articolo da 200 € con il 40 % di sconto e un buono da 30 €, prima la percentuale dà 90 € e prima il buono dà 102 €, uno scarto di 30 × 0,40 = 12 €. Prima la percentuale è sempre meglio per il cliente e prima il buono è sempre meglio per il negozio, ed è per questo che l'ordine è scritto nelle condizioni generali invece di essere lasciato al caso.

Che cosa fa l'imposta alla risposta — e non è uguale sulle due sponde dell'Atlantico

In Europa il prezzo esposto comprende già l'IVA, quindi uno sconto percentuale incide esattamente su ciò che paghi. Prendi un articolo da 120 € in un paese con IVA al 20 %: il cartellino contiene 100 € imponibili e 20 € di IVA. Con il 20 % di sconto paghi 96 €, di cui 80 € imponibili e 16 € di IVA. Risparmi esattamente 24 €, cioè esattamente il 20 % di quanto avresti pagato — nessuna sorpresa alla cassa. Il motivo è che sconto e IVA sono due moltiplicazioni che commutano: applicare 0,80 al prezzo lordo oppure a quello netto prima di riaggiungere l'IVA dà gli stessi 96 €. Il sistema a prezzi esposti IVA inclusa rende quindi la promessa letteralmente vera.

Il caso interessante, in regime di prezzi IVA inclusa, è il buono di importo fisso, perché si porta dietro la propria quota di IVA. Un buono da 20 € su quell'articolo da 120 € lascia 100 € da pagare, di cui 83,33 € imponibili e 16,67 € di IVA: il buono stesso si scompone in 16,67 € imponibili e 3,33 € di IVA. Il commerciante non regala quindi 20 € di margine: regala 16,67 € di fatturato e recupera l'IVA corrispondente. Questo spiega perché le catene preferiscono spesso i buoni agli sconti percentuali sui carrelli alti, e perché le condizioni quasi sempre precisano in quale ordine si applicano i vantaggi — un dettaglio che, come si è visto, vale il buono moltiplicato per il tasso di sconto.

All'indietro: lo sconto unico equivalente

La domanda che chi compra si pone davvero non è che cosa faccia il cumulo, ma a quale sconto unico equivalga, e questo esce direttamente dalla stessa formula: moltiplica le frazioni superstiti e sottrai da uno. Un cumulo di 20 % e 10 % equivale a un 28 %. Uno di 25 % e 15 % equivale al 36,25 %. Uno di 50 %, 30 % e 20 % equivale al 72 %. Leggere le offerte così le rende confrontabili a colpo d'occhio, che è l'unico modo per sapere se il 35 % secco di un concorrente batte il negozio di fronte che pubblicizza il 25 % più un ulteriore 15 %. Lo batte di poco: 35 % contro 36,25 % è una sconfitta per poco più di un punto.

La stessa formula risponde alla domanda di progettazione dall'altro lato. Se vuoi una promozione in due passi che atterri esattamente al 50 % di sconto, due tagli del 25 % non bastano — danno il 43,75 %. Due sconti uguali d che si combinano al 50 % devono soddisfare (1 − d)² = 0,5, quindi d = 1 − √0,5 = 29,29 %. E se stai costruendo un cumulo da vetrina, ricorda che il primo taglio fa quasi tutto il lavoro: dopo uno sconto del 50 %, un ulteriore 20 % toglie solo altri dieci punti del prezzo originale. Il guadagno di marketing di una lunga catena di piccole offerte aggiuntive è molto minore di quanto appaia sul cartellone, ed è esattamente per questo che le catene lunghe finiscono sui cartelloni.

Il ricarico che annulla uno sconto è maggiore dello sconto

Uno sconto del 20 % porta un prezzo all'80 % di sé stesso. Per tornare all'originale bisogna dividere per 0,80, cioè moltiplicare per 1,25 — un ricarico del 25 %, non del 20 %. La regola generale è che annullare uno sconto di d richiede un ricarico di d ÷ (1 − d), e i due convergono solo per valori molto piccoli. Dopo uno sconto del 25 % serve il 33,33 %. Dopo uno del 30 % serve il 42,86 %. Dopo uno del 50 % bisogna raddoppiare il prezzo. Questa asimmetria non è una curiosità: è il motivo per cui un dettagliante che ricarica un costo di 100 del 20 % arrivando a 120, e poi pubblicizza il 20 % di sconto, vende a 96 e perde il quattro per cento sul costo. Ricaricare di una percentuale e scontare della stessa percentuale non va mai in pareggio.

Questo conta quando uno sconto è negoziato in un'unità e tariffato in un'altra. Se un compratore chiede il 15 % di sconto e il venditore ha il 15 % di margine lordo, concederlo non dimezza l'utile — lo azzera del tutto e oltre, perché il margine era calcolato sul prezzo di vendita mentre lo sconto si applica a quello stesso prezzo di vendita. Il modo rigoroso di condurre queste conversazioni è convertire tutto in moltiplicatori prima di accettare qualunque cosa: costo per ricarico dà il prezzo, prezzo per (1 − sconto) dà l'importo incassato, e i due sono confrontabili solo in quella forma. Percentuali espresse su basi diverse non si sommano, e in questo caso preciso l'errore aritmetico si paga direttamente sul risultato.

Domande frequenti

Il 20 % di sconto più un ulteriore 10 % è lo stesso del 30 %?

No. È il 28 %. Il primo taglio lascia l'80 % del prezzo e il secondo il 90 % di quello, quindi sopravvive 0,80 × 0,90 = 0,72, e lo sconto totale è 1 − 0,72 = 0,28. I due punti mancanti sono esattamente il 10 % del 20 % già tolto, perché il secondo sconto si applica a un numero più piccolo. La regola generale è che il totale è 1 meno il prodotto delle frazioni superstiti, e la somma ingenua lo sovrastima sempre — tanto più quanto più grandi sono i tagli. 30 % e 20 % danno 44 % e non 50 %; 40 % e 30 % danno 58 % e non 70 %; 50 %, poi 30 %, poi 20 % danno 72 % e non il 100 % suggerito dall'addizione. Nessuna catena di sconti percentuali ordinari può mai raggiungere il 100 %, il che è un controllo utile su qualunque pubblicità.

L'ordine degli sconti cambia il prezzo finale?

Non per le percentuali, e in modo decisivo per i buoni di importo fisso. Due sconti percentuali commutano perché la moltiplicazione commuta: 0,80 × 0,90 e 0,90 × 0,80 fanno entrambi 0,72, quindi un articolo da 120 € costa 86,40 € in qualunque ordine la cassa li applichi. Metti un buono nella catena e i due percorsi si separano. Su un articolo da 120 € con il 25 % di sconto e un buono da 20 €, prima la percentuale dà 120 × 0,75 = 90 €, meno 20 € fa 70 €; prima il buono dà 120 − 20 = 100 €, meno il 25 % fa 75 €. Lo scarto è sempre il buono moltiplicato per il tasso di sconto — qui 20 × 0,25 = 5 € — e cresce quindi con entrambi. Su un articolo da 200 € al 40 % con un buono da 30 €, lo scarto è 30 × 0,40 = 12 €. Prima la percentuale favorisce il cliente, prima il buono favorisce il negozio, e condizioni serie indicano quale si applica.

Come incide l'IVA su uno sconto?

In Europa il prezzo esposto comprende già l'IVA, quindi uno sconto percentuale incide esattamente su ciò che paghi e alla cassa non ci sono sorprese. Un articolo da 120 € in un paese con IVA al 20 % contiene 100 € imponibili e 20 € di imposta. Con il 20 % di sconto paghi 96 €, cioè 80 € imponibili e 16 € di IVA, e risparmi esattamente 24 €. Il motivo è che sconto e IVA sono due moltiplicazioni che commutano: applicare 0,80 al prezzo lordo oppure a quello netto prima di aggiungere l'IVA dà lo stesso risultato. I buoni di importo fisso si comportano diversamente, perché si portano dietro la loro quota di imposta: un buono da 20 € su quell'articolo lascia 100 € da pagare, cioè 83,33 € imponibili e 16,67 € di IVA, e il buono stesso si scompone in 16,67 € imponibili più 3,33 € di IVA.

A quale sconto unico equivale un cumulo?

Moltiplica le frazioni superstiti e sottrai il risultato da uno: lo sconto unico equivalente è 1 − Π(1 − dᵢ). Un cumulo di 20 % e 10 % equivale a un 28 %; 25 % e 15 % equivale al 36,25 %; 30 % e 20 % equivale al 44 %; 50 %, 30 % e 20 % insieme equivalgono al 72 %. Convertire ogni offerta nel suo equivalente unico è l'unico modo affidabile per confrontarle, e chiude in fretta le discussioni: un 35 % secco perde contro un 25 % seguito da un 15 %, perché quest'ultimo vale il 36,25 %. La formula funziona anche all'indietro quando progetti una promozione. Due tagli uguali che debbano combinarsi esattamente al 50 % non sono del 25 % ciascuno — soddisfano (1 − d)² = 0,5, quindi d = 1 − √0,5 = 29,29 %. Nota che nessuna catena di sconti percentuali ordinari raggiunge mai il 100 %, perché un prodotto di fattori strettamente positivi è strettamente positivo.

Quale ricarico annulla uno sconto del 20 %?

Venticinque per cento, non venti. Uno sconto del 20 % lascia l'80 % del prezzo, quindi ripristinare l'originale significa dividere per 0,80, cioè moltiplicare per 1,25. La regola generale è che annullare uno sconto di d richiede un ricarico di d ÷ (1 − d): dopo un taglio del 25 % serve il 33,33 %, dopo il 30 % serve il 42,86 %, e dopo il 50 % bisogna raddoppiare il prezzo. L'asimmetria ha una conseguenza commerciale diretta. Un dettagliante che ricarica un costo di 100 del 20 % arrivando a 120, e poi pubblicizza il 20 % di sconto, vende a 96 e resta il quattro per cento sotto il costo — ricaricare e scontare della stessa percentuale non va mai in pareggio, perché le due percentuali sono calcolate su basi diverse. Se negozi sconti contro un margine lordo, converti tutto in moltiplicatori prima di accettare: concedere il 15 % di sconto quando il tuo margine lordo è del 15 % non dimezza l'utile, lo azzera.