I punti percentuali non sono percentuali

Due affermazioni vere sullo stesso movimento

La confusione non sta nel fatto che una descrizione sia giusta e l'altra falsa. Sta nel fatto che entrambe sono corrette e misurano cose diverse. Un punto percentuale è una differenza sulla scala stessa: 5 % meno 4 % è un punto percentuale, così come cinque metri meno quattro metri è un metro. Una variazione in per cento è un rapporto: l'aumento di uno, diviso per il valore di partenza quattro, dà 0,25, quindi il tasso è salito del venticinque per cento. La prima risponde a «di quanto si è mosso sulla scala», la seconda a «di quanto è più grande di prima». Un tasso può muoversi molto su una misura e quasi nulla sull'altra, e nulla nelle parole per cento e punto percentuale dice al lettore quale sia intesa.

La tabella qui sopra rende visibile la divergenza su sette coppie. Nota che la colonna dei punti e quella delle percentuali si muovono in modo indipendente: un aumento di un punto vale cento per cento partendo dall'1 %, cinquanta per cento partendo dal 2 % e venticinque per cento partendo dal 4 %, mentre un aumento di cinque punti vale venticinque per cento dal 20 % e solo dieci per cento dal 50 %. La lettura relativa è inversamente proporzionale alla base, il che significa che chi riferisce una variazione da una base piccola può produrre una percentuale impressionante quasi a piacere. Il trucco inverso funziona altrettanto: riferisci una variazione da una base grande in termini relativi e sembrerà trascurabile. Nessuno dei due è una bugia. Sono entrambi scelte su quale numero vero stampare.

Dove la differenza cambia la decisione

Prendi un tasso d'interesse. Un mutuo trentennale da 300 000 € al 4 % costa 1 432,25 € al mese; al 5 % costa 1 610,46 €. È un punto percentuale sul tasso, il 12,4 % in più sulla rata mensile e 64 158,83 € in più di interessi totali — un aumento del 29,8 % di quanto consegni alla banca lungo la durata. Tre percentuali legittime, un solo movimento di fondo, e ciascuna sostiene una frase diversa. Se un intermediario ti dice che il tasso è salito «solo di un punto» e un commentatore afferma che il costo del credito «è balzato del trenta per cento», stanno descrivendo lo stesso evento e nessuno dei due ti sta mentendo.

La stessa spaccatura compare nella fiscalità e nella conversione. Porta un'aliquota sul reddito dal 20 % al 22 %: l'aliquota si è mossa di due punti, il conto fiscale è salito del 10 %, e il netto è passato dall'80 % al 78 % del lordo — un calo di appena il 2,5 % in relativo. Su un reddito di 50 000 sono 10 000 di imposta che diventano 11 000 e 40 000 netti che diventano 39 000. Tre titoli, tutti difendibili, tutti orientati in direzioni diverse. Sul lato commerciale l'effetto gioca a tuo favore: alzare un tasso di conversione dal 2,0 % al 2,5 % è mezzo punto percentuale, che suona trascurabile, ma è un guadagno relativo del 25 % — su 100 000 sessioni, 2 000 ordini diventano 2 500, e con uno scontrino medio di 60 il fatturato passa da 120 000 a 150 000. Mezzo punto vale 30 000. La regola vale per la lettura come per la scrittura: dichiara sempre quale misura stai usando, e se una fonte non lo fa, calcola l'altra prima di agire.

Salire e scendere della stessa percentuale non riporta al punto di partenza

Moltiplica, non sommare. Un aumento di x è una moltiplicazione per (1 + x) e una diminuzione di x una moltiplicazione per (1 − x), quindi fare entrambe in qualsiasi ordine moltiplica per (1 + x)(1 − x). Sviluppa e i termini misti si annullano: il prodotto è 1 − x². È sempre minore di 1 per ogni x non nullo, quindi finisci sempre sotto il punto di partenza, e l'ammanco è esattamente il quadrato del movimento. Sali del 10 % e scendi del 10 %: resta 0,99, una perdita dell'1 %. Sali del 20 % e scendi del 20 %: resta 0,96, una perdita del 4 %. Sali del 50 % e scendi del 50 %: resta 0,75 — un quarto del valore è svanito in due movimenti che sembrano compensarsi. L'ordine è indifferente, perché la moltiplicazione commuta, che è un altro modo di dire che la perdita è strutturale e non una questione di sequenza.

Il corollario pratico è la regola di recupero, quella che si sbaglia più spesso quando c'è denaro in gioco. Per annullare una caduta di d serve un aumento di d ÷ (1 − d), sempre maggiore. Dopo una caduta del 20 % serve il 25 % per tornare. Dopo una del 25 % serve il 33,33 %. Dopo una del 50 % serve il 100 % — un raddoppio — per tornare al punto di partenza. È per questo che i drawdown di portafoglio sono citati con tanta cura, per questo uno sconto e il ricarico che lo annulla non sono mai lo stesso numero, e per questo mediare variazioni percentuali fra periodi non significa nulla se non moltiplichi i fattori e ne prendi la radice. Somma percentuali solo quando condividono una base; altrimenti moltiplica.

Percentuali di basi diverse non si sommano

Una percentuale non significa nulla senza il numero di cui è percentuale, e due percentuali calcolate su basi diverse non sono commensurabili. Se un reparto taglia i costi del 10 % e un altro del 20 %, l'azienda non ha tagliato i costi del 30 %, né del 15 %, né di alcuna cifra ricavabile da quei due soli numeri — servono i budget reali. Farne la media senza ponderare è la versione più comune dell'errore, e presuppone in silenzio che le due basi siano uguali. La stessa trappola si annida in ogni sintesi di sondaggio che riporta percentuali per sottogruppo e poi cita un dato complessivo: se i sottogruppi non hanno la stessa dimensione, la percentuale complessiva non è la media delle percentuali dei sottogruppi, e lo scarto a volte basta a ribaltare la conclusione.

La trappola di formulazione collegata è «di» contro «più di». Centocinquanta per cento di 80 è 1,5 × 80 = 120. Centocinquanta per cento più di 80 è 80 + 1,5 × 80 = 200. I due differiscono dell'importo originale, e lo scarto cresce con il moltiplicatore, il che rende la formulazione degna di una seconda lettura in qualsiasi contratto o preventivo. Lo stesso vale all'estremo piccolo: «due volte più veloce» e «cento per cento più veloce» dicono la stessa cosa, mentre «duecento per cento più veloce» significa tre volte più veloce, non due. Nel dubbio, riformula l'affermazione come moltiplicatore — quella forma non ha alcuna ambiguità.

Punti base: la soluzione che la finanza ha davvero adottato

I mercati muovono i tassi a piccoli incrementi e non possono permettersi una frase a doppia lettura, così hanno inventato un'unità che ne ha una sola. Un punto base è un centesimo di punto percentuale: 100 punti base fanno un punto percentuale, 25 punti base un quarto di punto. Una banca centrale che alza i tassi di 25 punti base porta il 4,00 % al 4,25 %, senza ambiguità — e questo è un aumento relativo del 6,25 %, esattamente il numero su cui si sarebbe discusso se qualcuno avesse scritto «un quarto di per cento». L'unità è additiva sulla scala per costruzione, quindi i punti base si sommano e si sottraggono senza pensarci, che è esattamente ciò che serve a una sala operativa.

Vale la pena interiorizzare quanto compra un punto base. Venticinque punti base su un milione di capitale sono 2 500 l'anno: il 4,00 % rende 40 000 e il 4,25 % rende 42 500. Un numero piccolo sul tasso e un numero reale sul flusso di cassa, e questo disallineamento è tutta la ragione d'essere dell'unità. Puoi prendere in prestito questa disciplina fuori dalla finanza a costo zero. Riporta tassi di conversione, tassi di errore, quote di mercato e copertura vaccinale in punti quando intendi la differenza sulla scala, in per cento quando intendi la variazione relativa, e di' quale dei due nella stessa frase. Costa tre parole in più ed elimina un'intera classe di discussioni.

Domande frequenti

Qual è la differenza fra un punto percentuale e un per cento?

Un punto percentuale è la differenza aritmetica fra due percentuali; una variazione in per cento è la differenza relativa. Passare dal 4 % al 5 % è un aumento di un punto percentuale, perché 5 − 4 = 1, e insieme un aumento del venticinque per cento, perché 1 ÷ 4 = 0,25. Entrambe le descrizioni sono corrette e rispondono a domande diverse: la prima chiede di quanto il tasso si è mosso sulla scala, la seconda di quanto è più grande di prima. La distanza fra le due letture si allarga man mano che la base si restringe — un punto è cento per cento da una base dell'1 %, cinquanta per cento dal 2 %, venticinque per cento dal 4 % e solo due per cento dal 50 %. Ogni volta che riferisci una variazione di un tasso, nomina esplicitamente la misura, perché il lettore non può dedurla e i due numeri possono differire di un ordine di grandezza.

Se un prezzo sale del 50 % e poi scende del 50 %, torna al punto di partenza?

No. Finisce al 75 % dell'originale, una perdita di un quarto. Un aumento di x moltiplica per (1 + x) e una diminuzione di x per (1 − x), quindi la coppia moltiplica per (1 + x)(1 − x) = 1 − x². Per x = 0,5 fa 1 − 0,25 = 0,75. L'ammanco è sempre il quadrato del movimento, quindi è piccolo per movimenti piccoli e brutale per quelli grandi: 10 % su e giù lascia 0,99, 20 % lascia 0,96, 50 % lascia 0,75 e 80 % lascia 0,36. L'ordine non cambia nulla, perché la moltiplicazione commuta. Il corollario è la regola di recupero: annullare una caduta di d richiede un aumento di d ÷ (1 − d), quindi una caduta del 20 % richiede il 25 %, una del 25 % richiede il 33,33 %, e una del 50 % richiede il 100 % — un raddoppio — per tornare al livello.

Che cos'è un punto base?

Un centesimo di punto percentuale, quindi 100 punti base equivalgono a un punto percentuale e 25 punti base a un quarto di punto. L'unità esiste proprio per uccidere l'ambiguità di cui parla questo articolo: un punto base è sempre una differenza sulla scala e mai una variazione relativa, quindi si somma e si sottrae senza rischio di essere frainteso. Un tasso che sale di 25 punti base dal 4,00 % diventa 4,25 %, che è anche un aumento relativo del 6,25 % — e quel secondo numero è esattamente quello che avrebbe causato una discussione se qualcuno avesse scritto «un quarto di per cento». Sono stati gli importi finanziari a imporre la convenzione: 25 punti base su un milione di capitale sono 2 500 l'anno, dato che il 4,00 % rende 40 000 e il 4,25 % rende 42 500. Puoi adottare la stessa disciplina in qualunque campo che pubblichi tassi.

Posso sommare o mediare percentuali?

Solo quando condividono la stessa base. Due percentuali calcolate su denominatori diversi non sono commensurabili, quindi se un reparto taglia i costi del 10 % e un altro del 20 %, l'azienda non ha tagliato del 30 % né del 15 % — non puoi rispondere senza i budget reali. Mediare senza ponderare presuppone in silenzio basi uguali, la forma più comune dell'errore, ed è per questo che una percentuale complessiva di sondaggio di norma non è la media delle percentuali dei sottogruppi, a meno che questi non abbiano la stessa dimensione. Le variazioni successive sono peggio: si moltiplicano, non si sommano. Tre cali consecutivi del 10 % lasciano 0,9³ = 0,729, un calo totale del 27,1 %, non del 30 %. Per mediare una serie di variazioni, moltiplica i fattori e prendi la radice n-esima — la media geometrica — invece di mediare le percentuali stesse.

«150 % di» significa la stessa cosa di «150 % più di»?

No, e i due differiscono esattamente dell'importo originale. Centocinquanta per cento di 80 è 1,5 × 80 = 120. Centocinquanta per cento più di 80 è 80 + 1,5 × 80 = 200. Il primo è un moltiplicatore applicato alla base; il secondo è un aumento aggiunto sopra la base. Lo scarto si allarga al crescere della percentuale, quindi vale la pena rileggere la formulazione in qualunque contratto, preventivo o affermazione di prestazione. La stessa distinzione si nasconde nei confronti di velocità e dimensione: «due volte più veloce» e «cento per cento più veloce» coincidono, ma «duecento per cento più veloce» significa tre volte più veloce, non due. Scrivendo, l'abitudine più sicura è enunciare un moltiplicatore — «1,5 volte» o «2,5 volte» — perché un moltiplicatore ha una sola lettura e non richiede alcuna convenzione.

Quanto costa davvero un rialzo di un punto su un prestito?

Ben più dell'uno per cento, e la risposta dipende da quale numero guardi. Prendi un mutuo trentennale da 300 000 €. Al 4 % la rata mensile è di 1 432,25 €; al 5 % è di 1 610,46 €. È un punto percentuale sul tasso, 178,22 € in più al mese, e un aumento del 12,4 % sulla rata. Guarda gli interessi totali sull'intera durata e il quadro cambia di nuovo: 215 608,52 € al 4 % contro 279 767,35 € al 5 %, cioè 64 158,83 € in più, un aumento del 29,8 %. Un movimento, tre percentuali legittime, ciascuna a sostegno di una frase diversa — ed è proprio per questo che un titolo che dice che i tassi sono saliti «solo di un punto» e un altro che dice che il costo del credito «è balzato del trenta per cento» possono descrivere lo stesso evento senza che nessuno dei due sia falso. Prima di firmare qualunque cosa, calcola il valore mensile e quello sull'intera durata, perché rispondono a domande diverse sullo stesso prestito.