Quaranta all'andata e sessanta al ritorno fanno quarantotto di media

Le tre medie sono sempre in quest'ordine

L'armonica non è mai maggiore della geometrica, e la geometrica mai maggiore dell'aritmetica, per qualsiasi insieme di numeri positivi. Coincidono solo quando tutti i valori sono identici, e il divario fra loro si allarga con la dispersione — il che rende la differenza fra due di esse una misura grossolana di quanto siano diseguali i dati. Per 40 e 60 le tre stanno entro due unità; per 1 e 100 l'armonica vale 1,98 e l'aritmetica 50,5, un fattore venticinque. Vedere una media aritmetica molto sopra l'armonica degli stessi dati è un segnale affidabile che pochi valori grandi reggono la media.

Compare anche dove nessuno la chiama così

Il punteggio F1 che riassume un classificatore è la media armonica di precisione e richiamo, scelta proprio perché si rifiuta di farsi lusingare da una delle due: un sistema con precisione 0,6 e richiamo 0,8 segna 0,686, più vicino al numero più debole di quanto lo porrebbe una media aritmetica. Lo stesso ragionamento dà il rapporto prezzo-utili medio di un portafoglio, che va calcolato armonicamente perché ogni rapporto porta gli utili al denominatore. Ovunque la grandezza mediata sia un rapporto e siano i denominatori a restare fissi, la media armonica è quella che tiene giusto il totale.

Domande frequenti

Che succede se un valore è zero?

La media è indefinita, perché il reciproco di zero non ha valore. Non è un limite della formula ma una descrizione corretta della situazione che modella: un tratto percorso a velocità nulla non finisce mai, quindi la velocità media dell'intero viaggio non è un numero. Lo stesso vale per l'F1 di un classificatore che non richiama nulla. Dove gli zeri sono dati legittimi e non il segnale che qualcosa non è accaduto, la media armonica è la sintesi sbagliata e una aritmetica o una mediana è quella giusta.

Come so quale media serve a un problema?

Chiediti che cosa deve restare vero dopo la media. Se il totale è una somma — di costi, di masse, di conteggi — è la media aritmetica a conservarlo. Se il totale è un prodotto, come per tassi di crescita successivi, è la geometrica. Se le grandezze sono tassi e ciò che è fisso sta al loro denominatore, è la media armonica a far uscire giusto il tasso complessivo. Scrivere la quantità da preservare richiede un istante e sceglie la media senza alcuna regola imparata a memoria.