Das ideale Gasgesetz erklärt: PV = nRT, R in jeder Einheit und wo es versagt

Was jedes Symbol bedeutet und warum T nie in Grad Celsius steht

P ist der absolute Druck des Gases, V das ausgefüllte Volumen, n die Stoffmenge in Mol und T die thermodynamische Temperatur. Umgestellt liefert das Gesetz jede der vier Größen aus den drei anderen: P = nRT/V, V = nRT/P, n = PV/RT, T = PV/nR. Nimm 2,00 mol Gas in einem Gefäß von 10,0 L bei 25 °C. Zuerst umrechnen: 25 °C sind 298,15 K. Dann ist P = 2,00 × 0,0820574 × 298,15 / 10,0 = 4,89 atm, in SI-Einheiten 2,00 × 8,314463 × 298,15 / 0,0100 = 496 kPa. Beide Wege sind dieselbe Rechnung in anderer Kleidung.

Die häufigste falsche Antwort entsteht, wenn der Celsius-Wert direkt in T eingetragen wird. Setze im selben Beispiel 25 statt 298,15 ein, und der Druck fällt auf 0,41 atm — 11,9-fach zu wenig, denn 298,15 geteilt durch 25 ergibt 11,93. Kelvin ist die einzige Skala, auf der null wirklich null bedeutet: Verdoppelte absolute Temperatur verdoppelt bei festem Volumen tatsächlich den Druck, während das Verdoppeln eines Celsius-Werts eine Rechnung ohne physikalischen Gehalt ist. Erkennbar ist es daran, dass der Fehler nahe 0 °C anschwillt und darunter katastrophal wird, wo ein negatives T einen negativen Druck liefern würde.

Molvolumen: 22,414 L oder 22,711 L, je nach gemeintem Standard

Setze n = 1, und das Gesetz liefert das Volumen eines Mols direkt: V = RT/P. Bei 0 °C (273,15 K) und 1 atm sind das 22,414 L/mol, die in den meisten Schulbüchern gedruckte Zahl. Bei denselben 0 °C, aber 100 kPa, sind es 22,711 L/mol, und 100 kPa ist seit 1982 die IUPAC-Definition des Standarddrucks. Der Unterschied beträgt 1,3 Prozent — genug, um die zweite signifikante Stelle jedes angegebenen Gasvolumens zu ändern. Bei 25 °C und 100 kPa, mitunter Standardumgebungsbedingungen genannt, füllt ein Mol 24,790 L.

Die praktische Regel lautet: schreibe nicht mehr Normbedingungen, sondern die Bedingungen selbst. Eine Prüfungsaufgabe, die von Normalbedingungen spricht und 22,4 erwartet, nutzt die Konvention vor 1982; eine Tabelle mit der Kopfzeile 100 kPa erwartet 22,7. Keine von beiden ist falsch, und genau deshalb benennen die Werkzeuge dieser Seite die Bedingungen statt des Kürzels. Gibt eine Aufgabe ein Gasvolumen ohne Temperatur und Druck an, fehlt eine Angabe, und ehrlich ist es, die angenommene Konvention zu nennen.

Wo das ideale Gasgesetz nicht mehr stimmt

PV = nRT ist eine Idealisierung, kein Naturgesetz, und unterstellt zwei nie exakt zutreffende Dinge: dass Moleküle kein Eigenvolumen haben und dass sie einander nicht anziehen. Beide Annahmen halten bei geringer Dichte und scheitern, sobald das Gas gepresst oder Richtung Kondensation gekühlt wird. Das übliche Maß des Schadens ist der Realgasfaktor Z = PV/(nRT), der für ein perfektes Gas 1 beträgt. Mit van der Waals und den Standardkonstanten für Kohlendioxid bei 300 K ist Z gleich 0,996 bei 1 bar, 0,957 bei 10 bar und 0,733 bei 50 bar — bei 50 bar überschätzt das ideale Gesetz das Volumen also um mehr als ein Viertel.

Welches Gas vorliegt, zählt genauso viel wie der Druck. Stickstoff verhält sich bei denselben 300 K weit gutmütiger: Z ist 0,9994 bei 1 bar und immer noch 0,974 bei 50 bar, denn seine Moleküle ziehen einander nur schwach an und es ist bei Raumtemperatur weit von der Kondensation entfernt. Kohlendioxid weicht gerade deshalb ab, weil 300 K nahe an seinem kritischen Bereich liegt. Brauchbare Faustregel: unterhalb von etwa 10 bar und deutlich über dem Siedepunkt trifft das ideale Gasgesetz auf rund ein Prozent zu und darf ohne Entschuldigung benutzt werden. Nahe oder oberhalb des kritischen Drucks, oder wenige Dutzend Kelvin über dem Siedepunkt, greife zu einer Realgasgleichung oder einem Kompressibilitätsdiagramm.

Häufige Fragen

Sind ein Mol Gas 22,4 L oder 22,7 L?

Beides, unter verschiedenen Bedingungen. Bei 0 °C und 1 atm beträgt das Molvolumen 22,414 L/mol, bei 0 °C und 100 kPa dagegen 22,711 L/mol. Die IUPAC hat den Standarddruck 1982 von 1 atm auf 100 kPa umdefiniert, weshalb neuere Quellen 22,711 nennen, während viele Schulbücher weiterhin 22,4 drucken. Prüfe, welchen Druck die Aufgabe angibt, und rechne V = RT/P selbst aus, statt eine Zahl zu erinnern, deren Bedingungen du nicht mehr kennst.

Was unterscheidet das ideale Gasgesetz von der kombinierten Gasgleichung?

Die kombinierte Gasgleichung P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂ vergleicht dieselbe Gasprobe in zwei Zuständen und sagt nichts über die Menge: R kürzt sich heraus, eine molare Größe wird nicht gebraucht. Das ideale Gasgesetz beschreibt einen einzelnen Zustand und enthält n, sodass sich aus Druck und Volumen eine Stoffmenge oder eine Masse ergibt. Nutze die kombinierte Form, wenn eine Probe erwärmt, verdichtet oder zwischen Bedingungen bewegt wird; nutze PV = nRT, sobald nach der Gasmenge gefragt wird oder eine Masse gegeben ist.

Gilt das ideale Gasgesetz für Luft oder nur für reine Gase?

Es gilt für Gemische, und Luft unter gewöhnlichen Bedingungen ist einer seiner besten Kunden. In einem Gemisch ist n die Gesamtstoffmenge aller Komponenten, und jedes Gas erfüllt dasselbe Gesetz für sich bei seinem eigenen Partialdruck — das ist das Daltonsche Partialdruckgesetz. Luft bei etwa 1 bar und 300 K wird von Stickstoff und Sauerstoff bestimmt, beide weit über ihrem Siedepunkt, sodass die Abweichung von der Idealität deutlich unter einem Prozent bleibt. Die Ausnahme ist Wasserdampf: Nähert sich Luft der Sättigung, verhält sich die kondensierende Komponente nicht mehr ideal, weshalb Feuchtluftrechnungen eigene psychrometrische Beziehungen statt allein PV = nRT verwenden.