Wie die Halbwertszeit funktioniert: was nach 1, 3 und 10 Halbwertszeiten bleibt

Eine Formel in zwei Schreibweisen

Mit der Zweierform sollte man rechnen: Rest = Anfang × (1/2)^(t / t½). Der Exponent t / t½ ist eine Anzahl von Halbwertszeiten, und da er ein Verhältnis zweier Zeiten ist, hat er keine Einheit — genau deshalb müssen beide Zeiten vor dem Teilen in derselben Einheit stehen. Gib 11 460 Jahre gegen eine Halbwertszeit von 5 730 Jahren ein, und der Exponent ist 2: ein Viertel bleibt. Gib eine Zeit in Stunden gegen eine Halbwertszeit in Minuten ein, und du liegst im Exponenten um den Faktor sechzig daneben, also um etwa den Faktor 10^18 im Ergebnis.

Physik und Pharmakologie schreiben dieselbe Kurve meist als N(t) = N0 × e^(−λt), mit λ = ln 2 / t½. In der zweiten Form steckt nichts Tieferes: ln 2 ist 0,6931, eine Halbwertszeit von 10 Einheiten ergibt also λ = 0,06931 pro Einheit, und beide Ausdrücke liefern dieselbe Zahl. Was die Exponentialform sichtbar macht, ist die mittlere Lebensdauer τ = 1/λ = t½ / ln 2 = 1,4427 × t½. Sie ist länger als die Halbwertszeit, was regelmäßig überrascht. Der Grund liegt im Schwanz der Verteilung: Wenige Einheiten überdauern viele Halbwertszeiten und ziehen den Mittelwert nach oben, während der Median — der Punkt, an dem genau die Hälfte verschwunden ist — definitionsgemäß die Halbwertszeit selbst ist.

Nichts erreicht je null, deshalb greift die Praxis zu einer Konvention

Halbieren ist eine Multiplikation, keine Subtraktion, und eine positive Zahl mit einem Halben zu multiplizieren lässt sich ewig wiederholen, ohne null zu erzeugen. Die Kurve ist asymptotisch: Sie nähert sich der Achse und berührt sie nie. Die übliche Frage — wie lange, bis alles weg ist — ist deshalb keine schwierige Frage, sondern eine Frage ohne mathematische Antwort, und jede Quelle, die eine Zahl nennt, hat stillschweigend eine Schwelle gewählt. Ehrlicher ist es, die gewünschte Schwelle zu benennen. Zehn Prozent Rest sind nach 3,32 Halbwertszeiten erreicht, ein Prozent nach 6,64 und ein Zehntel Prozent nach 9,97. Diese Werte sind die Zweierlogarithmen von 10, 100 und 1000 — daher stammt die bekannte Regel von zehn Halbwertszeiten.

Es gibt einen zweiten, physikalischen Grund, warum die glatte Kurve irgendwann aufhört, die Wirklichkeit zu beschreiben: Eine reale Probe enthält eine endliche, ganze Zahl von Einheiten, und der Zerfall ist ein Zufallsereignis pro Einheit, kein gleichmäßiges Abfließen. Die Exponentialfunktion ist der Erwartungswert dieses Zufallsprozesses. Beginne mit einem Mol eines radioaktiven Isotops, etwa 6,022 × 10^23 Atomen: Nach zehn Halbwertszeiten sind noch rund 5,9 × 10^20 da — weniger als ein Tausendstel des Anfangs und trotzdem eine gewaltige absolute Zahl. Beginne stattdessen mit tausend Atomen, dann erwartest du nach zehn Halbwertszeiten etwa eines, und von Anteilen zu reden verliert seinen Sinn: Du zählst Einzelereignisse. Die Zehn-Halbwertszeiten-Regel spricht über Anteile, nie über absolute Mengen, und eine hinreichend große Probe bleibt weit darüber hinaus messbar.

Eine Halbwertszeit ist nur bei einem Prozess erster Ordnung konstant

Alles Bisherige setzt voraus, dass die Verschwinderate proportional zur vorhandenen Menge ist. Genau das heißt erster Ordnung, und der radioaktive Zerfall ist der Lehrbuchfall: Jeder Kern zerfällt mit fester Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit, unabhängig von seinen Nachbarn. Unter dieser Annahme ist die Halbwertszeit eine Stoffeigenschaft und ändert sich nie — die zweite Halbwertszeit dauert genauso lang wie die erste. Die IUPAC ist hier vorsichtig. Dein Eintrag zur Halbwertszeit einer Reaktion hält fest, dass der Begriff nur in Sonderfällen sinnvoll ist, vor allem bei Kinetik erster Ordnung; bei einer Reaktion zweiter Ordnung hängt die Halbwertszeit von der Anfangskonzentration ab, und jede folgende Halbwertszeit dauert doppelt so lang wie die davor. Wer eine Halbwertszeit für einen Prozess berechnet, dessen Rate nicht seiner eigenen Größe folgt, erhält eine Zahl, die genau einen Startpunkt beschreibt und sonst nichts.

Dieselbe Sorgfalt gilt, wenn zwei unabhängige Abbauwege gleichzeitig wirken. Ein Radionuklid in einem lebenden Organismus verschwindet auf zwei Wegen — es zerfällt, und der Körper scheidet es aus — und die beiden Ratenkonstanten addieren sich: 1 / t_eff = 1 / t_phys + 1 / t_biol. Weil sich die Kehrwerte addieren, ist die effektive Halbwertszeit stets kürzer als jede der beiden einzeln. Nimm eine physikalische Halbwertszeit von 8 Tagen und eine biologische von 24 Tagen: Die Kehrwerte ergeben 0,125 + 0,041667 = 0,166667, also t_eff = 6 Tage, weniger als die kürzere der beiden. Die Halbwertszeiten zu addieren oder zu mitteln geht deutlich daneben — und zwar in der Richtung, die die Verweildauer überschätzt.

Häufige Fragen

Wie ermittle ich eine Halbwertszeit aus zwei Messungen?

Stelle das Zerfallsgesetz um: t½ = t × ln 2 / ln(N0 / N), wobei N0 die erste Messung ist, N die zweite und t die Zeit dazwischen. Angenommen, nach 12 Stunden sind 30 % übrig. Dann ist ln(1 / 0,30) = 1,2040 und t½ = 12 × 0,6931 / 1,2040 = 6,91 Stunden. Prüfe es, indem du wieder vorwärts rechnest: (1/2)^(12 / 6,91) = 0,300. Zwei Messwerte sind das Minimum, zugleich aber die am wenigsten belastbare Schätzung — das Verhältnis N0 / N steht in einem Logarithmus, sodass wenige Prozent Messrauschen das Ergebnis merklich verschieben. Wo die Daten es erlauben, passe eine Gerade von ln N gegen t über viele Punkte an und nimm die Steigung als −λ.

Ist die Halbwertszeit dasselbe wie die mittlere Lebensdauer?

Nein, und der Mittelwert ist der größere von beiden. Die mittlere Lebensdauer ist τ = 1 / λ = t½ / ln 2, also das 1,4427-Fache der Halbwertszeit — ein Isotop mit 10 Tagen Halbwertszeit hat eine mittlere Lebensdauer von 14,4 Tagen. Die Halbwertszeit ist der Median der Verteilung der Einzellebensdauern, der Punkt, an dem die Hälfte verschwunden ist; den Mittelwert ziehen die wenigen nach rechts, die mehrere Halbwertszeiten überstehen. Beides zu verwechseln ist ein Fehler von 44 %, immer in dieselbe Richtung, weshalb es sich lohnt zu prüfen, welche Größe eine veröffentlichte Zahl wirklich meint.

Hat jede abnehmende Größe eine Halbwertszeit?

Nur wenn sie exponentiell abnimmt, also die Verlustrate proportional zur noch vorhandenen Menge ist. Das trifft auf radioaktiven Zerfall zu, auf chemische Reaktionen erster Ordnung, auf einen Kondensator, der sich über einen Widerstand entlädt, und auf nicht gesättigte Eliminationsprozesse. Es trifft nicht auf eine Größe zu, die pro Zeiteinheit um einen festen Betrag fällt: Ein Tank, der mit 10 Litern pro Minute ausläuft, braucht 5 Minuten von 100 auf 50 Liter und nur 2,5 Minuten von 50 auf 25 — die Halbierungszeit schrumpft also fortlaufend, und es gibt keine einzelne Halbwertszeit zu nennen. Der schnelle Test: Prüfen, ob aufeinanderfolgende Halbierungen gleich lang dauern. Wenn nicht, nutze das zugrunde liegende Zeitgesetz, statt ihm eine Halbwertszeit aufzuzwingen.