Wie Auftrieb funktioniert: das Archimedische Prinzip und warum Eis zu 10,5 % herausragt

Die Kraft entsteht, weil der Druck mit der Tiefe wächst

Auftrieb ist keine eigene Naturkraft; er ist das, was übrig bleibt, wenn man den Druck auf jede Fläche eines eingetauchten Körpers aufaddiert. Der Druck in einer Flüssigkeit wächst mit der Tiefe wie ρgh, also wird die Unterseite eines Blocks stärker nach oben gedrückt als die Oberseite nach unten. Die seitlichen Drücke heben sich aus Symmetriegründen auf, und das vertikale Ungleichgewicht beträgt genau ρ_Fluid × V × g — das Gewicht der Flüssigkeit, die zuvor diesen Raum einnahm. Diese Herleitung erklärt, warum die Form des Körpers gleichgültig ist und warum in der Formel nur das verdrängte Volumen steht.

Die praktische Fassung heißt scheinbares Gewicht. Ein Aluminiumblock von einem Kilogramm hat ein Volumen von 1/2700 = 370,37 cm³ und wiegt in Luft 9,807 N. Taucht man ihn in Süßwasser, verdrängt er 0,37037 L und erhält 1000 × 0,00037037 × 9,80665 = 3,632 N Auftrieb, sodass eine Waage unter der Oberfläche 6,175 N anzeigt — als hätte der Block eine Masse von 0,630 kg. Ihm wurde nichts entnommen; das Wasser trägt schlicht 37 Prozent seines Gewichts. Dieser Anteil, 1000/2700, ist wiederum nur das Dichteverhältnis.

Warum der eingetauchte Anteil nur ein Dichteverhältnis ist

Ein schwimmender Körper ist im Gleichgewicht: Der Auftrieb gleicht sein Gewicht aus, ρ_Fluid × V_ein × g = ρ_Körper × V_gesamt × g. Kürzt man g und stellt um, so ist der eingetauchte Anteil V_ein/V_gesamt gleich ρ_Körper/ρ_Fluid — keine andere Größe bleibt übrig. Eis mit 917 kg/m³ in Meerwasser mit 1025 kg/m³ ergibt 0,8946: 89,5 Prozent unter Wasser, 10,5 Prozent darüber. Dasselbe Eis in Süßwasser mit 1000 kg/m³ ist zu 91,7 Prozent eingetaucht, weshalb ein Eisberg im See merklich weniger von sich zeigt als einer im Meer.

Das Wort, das die Arbeit leistet, ist „mittlere“. Ein Stahlrumpf schwimmt nicht, weil Stahl leicht wäre, sondern weil der Rumpf Luft einschließt und die mittlere Dichte aus Stahl und eingeschlossener Luft weit unter der des Wassers liegt. Ein Schiff von 10 000 kg schwimmt, indem es 10 000/1025 = 9,76 m³ Meerwasser verdrängt, und es liegt im Fluss tiefer als auf See, weil Süßwasser weniger dicht ist und mehr Volumen verdrängt werden muss, um dasselbe Gewicht zu finden. Belädt man es, sinkt es weiter ein — das ist die gesamte Physik hinter der Freibordmarke an der Bordwand.

Was das einfache Bild auslässt

Die Dichteverhältnisregel setzt ein gleichförmiges Fluid und einen starren, nicht saugenden Körper voraus. Meerwasser ist nicht gleichförmig: 1025 kg/m³ ist ein typischer Oberflächenwert im offenen Ozean, tatsächliche Werte reichen von etwa 1020 in einem brackigen Ästuar bis über 1028 in kaltem, salzreichem Polarwasser. Auch Meereis ist kein reines Eis: Es schließt Sole und Luft ein, seine Dichte streut daher stark, und das Freibord einer echten Scholle beträgt nicht einfach die 10,5 Prozent des reinen Eises. Nenne eine Dichte stets mit ihren Bedingungen, sonst ist die dritte signifikante Stelle Erfindung.

Zwei weitere Einschränkungen gehören genannt, weil konkurrierende Erklärungen sie überspringen. Schwimmen ist eine Frage der mittleren Dichte, nicht des Materials: Die Regel gilt nur, wenn der Körper vollständig benetzt ist und die Flüssigkeit nicht aufsaugt — ein poröser Stein, der sich allmählich mit Wasser füllt, verändert seine eigene mittlere Dichte und kann erst schwimmen und dann sinken. Und die Oberflächenspannung ist ein völlig anderer Effekt: Eine Stahlnadel oder ein Wasserläufer kann auf Wasser ruhen, dessen Dichte weit unter ihrer eigenen liegt, gehalten von der Oberfläche statt von der Verdrängung. Sobald der Körper klein genug ist, dass die Oberflächenspannung zählt, liefert Archimedes allein die falsche Antwort.

Häufige Fragen

Warum heißt es, ein Eisberg liege zu neun Zehnteln unter Wasser?

Weil das Dichteverhältnis nahe bei neun Zehnteln liegt, nicht wegen einer Faustregel. Reines Eis mit 917 kg/m³ in Meerwasser mit 1025 kg/m³ ergibt 917/1025 = 89,5 Prozent eingetaucht, also ragen 10,5 Prozent heraus. In Süßwasser liegt dasselbe Eis zu 91,7 Prozent unter Wasser. Die Neun-Zehntel-Angabe ist eine Rundung des Meerwasserfalls und verschiebt sich, sobald das Wasser wärmer, süßer oder salziger ist als angenommen oder das Eis Sole und Luft einschließt statt rein zu sein.

Hängt die Auftriebskraft von der Tiefe des Körpers ab?

Nein, solange der Körper vollständig eingetaucht ist und die Dichte des Fluids nicht mit der Tiefe variiert. Der Druck wächst mit der Tiefe an der Ober- wie an der Unterseite, und nur ihre Differenz zählt — festgelegt durch die eigene Höhe des Körpers, nicht durch seine Tiefenlage. Eine versiegelte Dose erhält in einem Meter dieselben 9,81 N je Liter wie in fünfzig. Ausnahmen sind reale kompressible Fluide und Körper, die selbst kompressibel sind: Anzug und Lunge eines Tauchers werden mit der Tiefe kleiner, verdrängen weniger Volumen und erzeugen weniger Auftrieb — genau deshalb wird die Tarierung mit zunehmender Tiefe schwieriger.

Gibt es Auftrieb auch in Luft und nicht nur in Wasser?

Ja — Luft ist ein Fluid, und dieselbe Formel gilt, nur mit einer Dichte von etwa 1,2 kg/m³ statt 1000. Deshalb steigt ein Heliumballon, und deshalb braucht eine genaue Wägung in Luft eine Auftriebskorrektur. Der Effekt ist klein, aber nicht immer vernachlässigbar: Ein Liter Luft wiegt rund 0,012 N, sodass ein Körper mit einem Liter Volumen auf einer Laborwaage etwa 1,2 g leichter erscheint als seine wahre Masse im Vakuum. Metrologielabore korrigieren das routinemäßig; bei einer Küchenwaage verschwindet es weit unter der Anzeigeauflösung.