Eine Verdünnung mit C1V1 = C2V2 berechnen

Was die Gleichung tatsächlich erhält

C1V1 = C2V2 ist eine Aussage über den gelösten Stoff, nicht über die Flüssigkeit. Konzentration mal Volumen ist eine Stoffmenge: Die linke Seite zählt die Mole, die du der Stammflasche entnimmst, die rechte die Mole, die am Ende im Kolben stehen. Verdünnen fügt Lösungsmittel hinzu und sonst nichts, diese Menge kann sich also nicht ändern, und die Gleichung ist nur die Gleichsetzung beider Schreibweisen. So gelesen ist die Richtung offensichtlich: Sinkt die Konzentration um einen Faktor, muss das Volumen um denselben Faktor steigen, weil ihr Produkt festliegt.

Diese Lesart zeigt auch, wo die Gleichung aufhört zu greifen. Da beide Seiten eine Konzentration mal ein Volumen sind, kürzt sich jede Einheit sauber weg, die bereits eine Menge je Volumeneinheit ist: mol/L, g/L, Massenprozent je Volumen, ppm bezogen auf den Liter. Auf Masse gebaute Einheiten nicht. Molalität ist Mol je Kilogramm Lösungsmittel, Massenprozent je Masse ist Gramm je Gramm Lösung; beides mit einem Volumen zu multiplizieren ergibt nichts Sinnvolles. Dafür braucht es das Massenanalogon m1w1 = m2w2 mit Massenanteilen und Gesamtmassen, und man wiegt statt zu pipettieren. Der Hinweis steckt im Namen der Einheit: Ist der Nenner kein Volumen, gilt die Volumenform der Gleichung nicht.

Die Subtraktion: V2 minus V1 zugeben und bis zur Marke auffüllen

V2 ist das Gesamtvolumen der fertigen Lösung, Stammlösung eingeschlossen. Es ist nicht das Lösungsmittelvolumen, und diese Verwechslung ruiniert eine Zubereitung unauffällig. Nimm 25 mL Stammlösung und gib 500 mL Wasser dazu, dann hast du 525 mL statt 500, die Konzentration beträgt also 25/525 der Stammlösung statt 25/500 — 0,0952 mol/L statt 0,1000, rund 5 % zu wenig. Bei einem Verdünnungsfaktor von 20 ist der Fehler klein genug, um einem flüchtigen Blick zu entgehen, und groß genug, um zu zählen; bei einem Faktor 2 liegt er bei einem Drittel. Die sichere Formulierung im Protokoll lautet auf V2 auffüllen, nie V2 zugeben.

Es gibt einen zweiten Grund für diese Formulierung. Volumina sind nicht streng additiv: Ethanol und Wasser gemischt ergeben weniger Gesamtvolumen als die Summe beider, und konzentrierte Säuren verhalten sich ähnlich, weshalb V2 − V1 ein guter Arbeitswert und kein exakter ist. Das strenge Vorgehen lautet daher: V1 sorgfältig abmessen, den größten Teil des Lösungsmittels zugeben, mischen und erst dann bis zur Marke eines Messkolbens auffüllen. Bei einer verdünnten wässrigen Verdünnung liegt der Unterschied zwischen beiden Wegen weit unter der Unsicherheit der Pipette; bei Alkoholen und konzentrierten Säuren nicht. Ein Sicherheitshinweis gehört ebenfalls hierher, denn die Reihenfolge der Zugabe ist nicht beliebig: Beim Verdünnen einer konzentrierten Säure gibt man die Säure ins Wasser und nie umgekehrt, weil die freigesetzte Wärme so in ein großes und nicht in ein kleines Volumen geht.

Verdünnungsfaktoren und die zwei Konventionen hinter 1:10

Der Verdünnungsfaktor ist das Verhältnis V2 / V1 und gleich C1 / C2. Er ist eine einzige Zahl, die den ganzen Vorgang zusammenfasst, und lohnt die Berechnung, weil er eine unabhängige Kontrolle liefert: War der gewünschte Faktor 20 und stehen die beiden Volumina nicht im Verhältnis 20, stimmt etwas nicht, noch bevor eine Pipette angefasst wird. Die Schreibweise ist leider mehrdeutig. Wie hier verwendet, bedeutet 1:10 einen Teil Stammlösung, aufgefüllt auf zehn Teile Gesamtvolumen, also Faktor 10. Anderswo meint dieselbe Zeichenfolge einen Teil Stammlösung auf zehn Teile Lösungsmittel, elf Teile gesamt und Faktor 11. Beide Konventionen sind in Gebrauch, und keine ist falsch — sie sind schlicht verschieden. Der Ausweg: den Faktor als Zahl schreiben oder die beiden Volumina nennen, und ein fremdes 1:10 als Rückfrage lesen statt als Anweisung.

Reihenverdünnungen folgen aus demselben Verhältnis, mit einer Regel: Die Faktoren multiplizieren sich, sie addieren sich nicht. Drei aufeinanderfolgende Schritte von 1:10 ergeben einen Gesamtfaktor von 10 × 10 × 10 = 1000 und nicht 30 — genau dafür gibt es die Technik. Einen Faktor 1000 in einem Schritt zu erreichen hieße, 0,5 mL in 500 mL zu pipettieren, und der relative Fehler dieses halben Milliliters beherrscht das gesamte Ergebnis; drei Schritte von je 5 mL in 50 mL tragen einen weit kleineren relativen Fehler, auch wenn sich diese über die Kette summieren. Zwischen den Schritten gründlich mischen und jedes Mal eine frische Spitze nehmen, denn Verschleppung an der Spitze ist ein systematischer Fehler, der alle nachfolgenden Konzentrationen in dieselbe Richtung verschiebt.

Häufige Fragen

Wie viel Lösungsmittel gebe ich wirklich zu?

V2 − V1, nicht V2. Sagt die Rechnung, 25 mL Stammlösung zu nehmen und bei 500 mL zu enden, sind es 475 mL Lösungsmittel. In der Praxis miss diese 475 mL nicht getrennt ab: Gib die 25 mL Stammlösung in den Kolben und fülle bis zur 500-mL-Marke auf, was sowohl die Rechnung als auch die nicht exakte Additivität der Volumina auffängt. Am größten ist der Unterschied bei kleinem Verdünnungsfaktor — von 1,0 mol/L auf 0,5 mol/L ist V1 die Hälfte von V2, V2 statt V2 − V1 zuzugeben ließe dich also um ein Drittel unter dem Ziel landen statt darauf.

Heißt 1:10 ein Teil von zehn oder ein Teil auf zehn?

Beide Lesarten sind im Umlauf, weshalb die Schreibweise allein keine verlässliche Anweisung ist. Dieser Artikel und der Rechner verwenden ein Teil von zehn: ein Volumen Stammlösung, aufgefüllt auf zehn Volumina gesamt, Verdünnungsfaktor 10. Die andere Konvention liest ein Volumen Stammlösung plus zehn Volumina Lösungsmittel, elf gesamt, Faktor 11 — 10 % Unterschied in der Endkonzentration. Analytische und klinische Vorschriften meinen meist das Erste; ein Teil der Formulierungs- und Reinigungsmittelliteratur meint das Zweite. Beim Schreiben einer Vorschrift den Faktor als Zahl angeben oder beide Volumina ausschreiben; beim Lesen prüfen, ob die Summen aufgehen, bevor du dem Doppelpunkt traust.

Was, wenn der Rechner ein Endvolumen kleiner als das Ausgangsvolumen liefert?

Es heißt, du hast nach Aufkonzentrieren gefragt, nicht nach Verdünnen, und kein Lösungsmittel bringt dich dorthin. C1V1 = C2V2 ist symmetrisch und liefert bereitwillig V2 < V1, sobald das Ziel C2 über der Stammlösung C1 liegt, doch der beschriebene Vorgang ist dann das Entfernen von Lösungsmittel — Eindampfen oder eine andere, stärkere Stammlösung. Prüfe zuerst die beiden Konzentrationen: C2 muss kleiner als C1 sein, damit überhaupt eine Verdünnung existiert, und das Verhältnis C1 / C2 sagt dir sofort, um wie viel das Endvolumen wachsen muss. Ist dein Ziel wirklich konzentrierter als alles Vorhandene, lautet die Antwort neue Stammlösung, nicht neue Rechnung.