Der Spannungsteiler: die Formel ist trivial, die Annahme dahinter nicht

Was der Rechner rechnet, und die Fußnote, auf die es ankommt

Das Werkzeug löst den Teiler in drei Richtungen, was nützlicher ist, als es klingt. Im ersten Modus gibst du Ue, R1 und R2 vor, und es liefert Ua. Im zweiten gibst du die gewünschte Ausgangsspannung und R2 vor, und es löst R1 = R2 × (Ue − Ua) / Ua. Im dritten gibst du die gewünschte Ausgangsspannung und R1 vor, und es löst R2 = R1 × Ua / (Ue − Ua). Die letzten beiden entsprechen dem tatsächlichen Entwurfsweg, denn man startet bei der gebrauchten Spannung und einem bereits festgelegten Widerstand. Verlang 12 V herunter auf 3,3 V bei festem R1 von 10 kΩ, und es liefert R2 = 3,793 kΩ — die Zahl, die du dann auf ein reales Bauteil rundest.

Es meldet außerdem Strom und Leistung, und dort beginnt die ehrliche Lesart eines Teilers. Das Standardpaar aus 10 kΩ bei 12 V zieht 0,6 mA und verbrennt 7,2 mW, gleichmäßig verteilt, weil beide Widerstände gleich sind. Ändere das Verhältnis, und die Aufteilung folgt den Widerständen: Im obigen Fall 12 V auf 3,3 V, 10 kΩ über 3,793 kΩ, beträgt der Strom 0,87 mA, und die 7,57 mW in R1 sind fast das Dreifache der 2,87 mW in R2. Diese Unsymmetrie ist bemerkenswert, denn R1 ist der Widerstand, der die Differenz abbaut, und er läuft in einem stark herunterteilenden Teiler immer heißer.

Und dann ist da die Fußnote unter dem Schaltbild: Die gezeigte Formel ist die Leerlaufformel und setzt voraus, dass am Ausgang vernachlässigbar wenig Strom entnommen wird. Das ist keine Floskel, sondern die gesamte Grenze dessen, was das Werkzeug sagen kann. Nirgends in der Oberfläche gibt es ein Feld für eine Last, also beschreibt jede Zahl auf dem Bildschirm — Ausgangsspannung, Strom, beide Leistungen — einen Teiler, an dessen Mittelpunkt nichts hängt. Alles Weitere handelt davon, was passiert, wenn man etwas anhängt, und nichts davon steckt im Werkzeug.

Ein exaktes Gesetz: der Teiler ist eine Quelle mit Innenwiderstand

Der Satz von Thévenin besagt, dass sich jedes Netzwerk aus Quellen und Widerständen, von zwei Klemmen aus betrachtet, exakt wie eine Spannungsquelle in Reihe mit einem Widerstand verhält. Beim Teiler ist die Quelle der Leerlaufausgang — die Zahl, die das Werkzeug lieferte — und der Widerstand ist R1 parallel zu R2, gefunden, indem man die Versorgung im Kopf kurzschließt und fragt, welchen Widerstand die Ausgangsklemme nach innen sieht. Bei zwei 10-kΩ-Widerständen sind das 5 kΩ. Bei 100 kΩ über 22 kΩ sind es 18,03 kΩ.

Damit ist der belastete Ausgang ein zweiter Teiler, diesmal zwischen dem Innenwiderstand und deiner Last, und das Ganze schrumpft auf einen einzigen Ausdruck: Ua belastet gleich Ua unbelastet geteilt durch (1 + Rth / RL), mit Rth gleich R1 ∥ R2. Das ist exakt, keine Näherung. Prüf es am Standardfall: 6 V geteilt durch (1 + 5000/100000) ergibt 6 / 1,05 = 5,714 V — genau das, was die volle Schaltung liefert. Prüf es an einer 24-V-Batterieüberwachung aus 100 kΩ und 22 kΩ an einem 1-MΩ-Eingang: unbelastet 4,328 V, Rth 18,03 kΩ, also 4,328 / (1 + 0,01803) = 4,251 V, ein Fehler von 1,77 %.

Das ist zugleich die Korrektur der Faustregel. Alle wiederholen, die Last müsse das Zehnfache des unteren Widerstands betragen, aber die Größe, die den Fehler bestimmt, ist R1 ∥ R2, nicht R2. Beide fallen nur zusammen, wenn R1 sehr viel größer als R2 ist. Ist R1 gleich R2, beträgt der Innenwiderstand die Hälfte von R2, und die Volksregel bringt bei einer Last vom k-Fachen von R2 einen Fehler von genau eins durch (2k + 1) — das Zehnfache von R2 ergibt also 4,76 %, das Zwanzigfache 2,44 %, und man braucht rund das Fünfzigfache von R2, bis der Fehler unter ein Prozent fällt. Willst du ein Genauigkeitsziel statt eines Aberglaubens, bemiss die Last gegen R1 ∥ R2 und lies den Fehler direkt ab: Er ist sehr nahe Rth / RL.

Wo ein Teiler hingehört und wo nicht

Er gehört überall dorthin, wo das Lesende praktisch nichts entnimmt. Der Eingang eines CMOS-Logikgatters, der Eingang eines Komparators, der Referenzpin eines Reglers, das Gate eines MOSFET, der Eingang eines Operationsverstärkers: alle im Megohmbereich oder darüber, und gegen einen Teiler mit ein paar Kiloohm Innenwiderstand ist der Belastungsfehler ein Rundungsfehler. Eine Batteriespannung in den Eingangsbereich eines Analog-Digital-Wandlers zu skalieren ist der Musterfall, und die Rechnung oben ist genau die Prüfung, die man macht, bevor man dem Messwert traut.

Er gehört nirgends hin, wo die Last echten Strom zieht, und das Versagen ist nicht allmählich, sondern ein Einbruch. Ein Teiler ist kein Netzteil. Er regelt nicht, denn der Ausgang wandert mit der Last, und keine Rückkopplung merkt es; er hält keine Spannung, wenn die Last sich ändert, was jede reale Last tut; und sein Ausgangswiderstand ist durch die Widerstände festgelegt, sodass man ihn nur steif machen kann, indem man ihn verschwenderisch macht. Die Zahl, die das greifbar macht: Häng eine 1-kΩ-Last an den Standardfall mit 12 V und 10 kΩ, und der Ausgang geht von 6 V auf 1 V. Braucht deine Schaltung eine niedrigere Schiene und darf Strom ziehen, heißt die Antwort Regler — linear bei kleinem Strom und moderatem Abfall, getaktet, wenn eines von beiden groß ist — und niemals zwei Widerstände.

Ein Fall liegt dazwischen und erwischt viele: der Eingang des Analog-Digital-Wandlers eines Mikrocontrollers. Er ist im stationären Zustand hochohmig, die Rechnung oben sagt also, ein Teiler sei in Ordnung; viele Wandler tasten jedoch auf einen kleinen internen Kondensator ab und ziehen kurz einen Stromimpuls, um ihn zu laden. Ist der Innenwiderstand des Teilers zu hoch, wird dieser Kondensator im Abtastfenster nicht fertig geladen, und der Messwert fällt zu niedrig aus — ohne Warnung und so, dass es nach Kalibrierfehler und nicht nach Quellwiderstandsproblem aussieht. Datenblätter nennen genau deshalb eine maximal empfohlene Quellimpedanz. Die Standardabhilfe kostet ein Bauteil: Setz einen Kondensator vom Teilerausgang nach Masse, damit der Abtastimpuls aus dem Kondensator kommt und nicht durch die Widerstände — das senkt die Quellimpedanz im entscheidenden Augenblick, ohne den Ruhestrom auch nur zu erhöhen.

Der Ruhestrom-Kompromiss über fünf Dekaden

Weil der Belastungsfehler von R1 ∥ R2 abhängt, kannst du ihn durch kleine Widerstände auf nichts zusammenschrumpfen. Der Preis: Der Teiler hängt dauerhaft an der Versorgung und zieht Strom, ob die Schaltung etwas tut oder nicht. Dieser Strom ist Ue geteilt durch (R1 + R2), und er hört nie auf. Die Tabelle unten hält das Verhältnis auf 12 V herunter auf 6 V fest und läuft mit dem Widerstandspaar von 100 Ω bis 1 MΩ, mit durchgehend 100 kΩ Last am Ausgang. Bei 100 Ω stimmt das Ergebnis auf ein halbes Zehntelprozent, und der Teiler verbrennt für immer 720 mW. Bei 1 MΩ verbrennt er 72 µW und zeigt 1 V statt 6.

In netzgespeisten Geräten fallen ein paar Milliwatt niemandem auf, du kannst dir also Steifigkeit leisten. In allem, was aus einer Batterie läuft, kehrt sich die Rechnung völlig um: Ein Teiler mit 0,6 mA Dauerstrom leert eine kleine Zelle in Wochen, und er tut es, während das Gerät schläft — genau dann, wenn ein Batteriedesign nichts ausgeben sollte. Deshalb nutzen Batterieüberwachungen große Widerstände — das Beispiel 100 kΩ über 22 kΩ zieht 197 µA und verschwendet 4,7 mW — und deshalb ergänzen die wirklich sorgfältigen einen Transistor, der den Teiler nur während der Messung nach Masse schaltet, sodass die Ruhekosten auf den Leckstrom des Transistors sinken. Hängt dein Teiler an einer Batterie und steht sein Strom nicht in deiner Energiebilanz, ist er das Erste, was du prüfst.

Zwei weitere Dinge, bevor du dem Ausgang traust

Der Ausgang folgt dem Eingang, exakt und für immer. Ein Teiler enthält keine Referenz: Er ist ein Verhältnis, eine um fünf Prozent einbrechende Versorgung erzeugt also einen um fünf Prozent einbrechenden Ausgang. Das ist bestens, wenn du die Versorgung selbst misst — genau das tut eine Batterieüberwachung — und ein echtes Problem, wenn du eine stabile Referenz für etwas anderes wolltest. Liest ein Analog-Digital-Wandler deinen Teiler, dessen eigene Referenz dieselbe Versorgung ist, heben sich beide Fehler auf, und du bekommst eine ratiometrische Messung, die besser ist, als beide Teile verdienen. Hat der Wandler seine eigene präzise Referenz, heben sie sich nicht auf, und der Teilerausgang erbt jedes Zittern der Schiene.

Und die beiden Standardzustände des Werkzeugs stimmen nicht überein, was zu wissen lohnt, wenn du die Seite mit einem gerechneten Beispiel vergleichst. Der interaktive Teiler auf der Seite öffnet mit 12 V und zwei 10-kΩ-Widerständen und zeigt 6 V. Der Registrierungseintrag dahinter — die Definition, aus der anderswo auf der Seite erzeugte Beispiele gespeist werden — trägt andere Vorgaben: 12 V mit 1 kΩ und 2 kΩ, was 8 V ergibt. Beides ist für die jeweiligen Eingaben arithmetisch richtig; es sind schlicht zwei verschiedene Startpunkte für dasselbe Werkzeug, und wenn du irgendwo 8 V zitiert siehst und auf dem Bildschirm 6 V, ist das der Grund und kein Fehler in einer der beiden Rechnungen.

Häufige Fragen

Kann ich ein 3,3-V-Gerät mit einem Spannungsteiler aus 5 V versorgen?

Nein. Ein Gerät zieht Strom, und in dem Moment bricht der Teilerausgang ein. Schlimmer noch: Ein Gerät zieht zu verschiedenen Zeiten verschieden viel — mehr, wenn ein Funkmodul sendet, weniger im Schlaf —, die Versorgungsschiene würde also mit der Arbeitslast wandern, und genau das darf eine Versorgung nicht. Selbst wenn du den Teiler so steif auslegst, dass der Einbruch klein bliebe, würdest du ein Vielfaches des Geräteverbrauchs in zwei Widerständen verheizen — deshalb geht die Rechnung nie auf. Die Antwort heißt Regler: linear bei mäßigem Strom, wenn der Abfall von 1,7 V als Wärme hinnehmbar ist, getaktet bei großem Strom oder wenn der Wirkungsgrad zählt. Wo ein Teiler zwischen 5 V und 3,3 V richtig ist, ist die Signalübertragung — einen 5-V-Logikausgang auf einen 3,3-V-Eingang zu bringen, der Mikroampere zieht — und selbst dort ist ein Pegelwandler besser, wenn das Signal schnell ist.

Reicht die Zehnfach-Faustregel?

Sie ist eine Untergrenze, kein Ziel, und sie ist auf die falsche Größe bezogen. Den Fehler bestimmt R1 parallel zu R2, nicht R2 allein, und beide fallen nur zusammen, wenn R1 viel größer ist. Im üblichen Fall zweier gleicher Widerstände ergibt eine Last vom Zehnfachen von R2 einen Fehler von genau eins durch einundzwanzig, also 4,76 % — genug, um zu zählen, wenn du eine Batteriespannung liest und dem Nutzer anzeigst, und belanglos, wenn du einen Komparator ansteuerst, den nur interessiert, auf welcher Seite der Schwelle du bist. Das ehrliche Vorgehen: Wähle die nötige Genauigkeit, berechne R1 ∥ R2, und verlange, dass die Last diesem Wert geteilt durch dein Fehlerziel entspricht — für ein Prozent also das Hundertfache von R1 ∥ R2, was bei zwei gleichen Widerständen auf etwa das Fünfzigfache von R2 hinausläuft. Dann prüf mit dem exakten Ausdruck statt mit der Regel.

Warum verweigert das Werkzeug die Lösung, wenn ich eine Ausgangsspannung über der Eingangsspannung verlange?

Weil es keine Antwort gibt. Ein ohmscher Teiler kann nur einen Bruchteil des Eingangs abgreifen, der Ausgang liegt also strikt zwischen null und Ue, und alles außerhalb lässt die Algebra einen negativen Widerstand ausspucken. Im Modus, der R2 löst, lautet die Formel R1 × Ua / (Ue − Ua); sie geht gegen unendlich, wenn Ua sich Ue nähert, und wird darüber hinaus negativ. Im Modus, der R1 löst, lautet sie R2 × (Ue − Ua) / Ua und explodiert, wenn Ua gegen null geht. Das Werkzeug sichert beide Fälle ab und zeigt eine Meldung statt eines unsinnigen Bauteilwerts — das richtige Verhalten, denn einen negativen Widerstand kann man nicht bestellen. Brauchst du wirklich eine Ausgangsspannung über der Eingangsspannung, brauchst du einen Aufwärtswandler oder eine Ladungspumpe, keinen Teiler.

Wie prüfe ich den Belastungsfehler, wenn das Werkzeug kein Lastfeld hat?

In zwei Schritten, mit einem zweiten Werkzeug. Lies zuerst den Leerlaufausgang im Teilerrechner ab. Berechne dann R1 parallel zu R2 — der Parallelwiderstands-Rechner tut das direkt, und sein Ergebnis ist der Innenwiderstand des Teilers. Teil ihn durch deinen Lastwiderstand, addier eins, und teil den Leerlaufausgang durch das Ergebnis. Am Standardfall: 6 V unbelastet, R1 ∥ R2 = 5 kΩ, Last 100 kΩ, also 6 geteilt durch 1,05 ergibt 5,714 V. Willst du nur den Fehler statt der Spannung, ist er nahezu exakt der Innenwiderstand geteilt durch die Last, in Prozent — 5 zu 100 sind fünf Prozent, und die exakte Antwort war 4,76 %. Diese Näherung stimmt auf Bruchteile eines Prozents, sobald die Last mehr als etwa das Zehnfache des Innenwiderstands beträgt, und in diesem Bereich solltest du ohnehin entwerfen.

Verhält sich ein Potentiometer wie ein Teiler?

Es ist einer, mit beweglichem Abgriff. Die Bahn zwischen den beiden Endanschlüssen ist der Gesamtwiderstand, und der Schleifer teilt ihn in R1 oben und R2 unten — alles in diesem Artikel gilt unverändert, auch das Belastungsverhalten, mit einer zusätzlichen Feinheit, die viele erwischt. Der Innenwiderstand R1 ∥ R2 ist beim Drehen nicht konstant: An beiden Enden ist er null, weil einer der beiden null ist, und in der Mitte am größten, wo er einem Viertel des Bahnwiderstands entspricht. Ein belastetes Potentiometer ist also an den Enden genau und in der Mitte am schlechtesten, was die Kennlinie eines Stellers verbiegt, der unbelastet linear wirkte. Deshalb benimmt sich auch ein Lautstärkesteller an niederohmiger Last in der Mitte seines Wegs schlecht, und deshalb heißt die Abhilfe meist, den Schleifer zu puffern, statt das Poti zu wechseln.