Widerstände in Reihe und parallel: die Formeln — und die drei Dinge, die sie verschweigen

Zwei Formeln, und was jedes Werkzeug liefert

In Reihe fließt derselbe Strom nacheinander durch jeden Widerstand, und jeder verliert seinen Spannungsanteil: Die Spannungen addieren sich, und mit ihnen die Widerstände — Rs = R1 + R2 + … Der Reihenrechner tut genau das und sonst nichts. Gib ihm seine Standardliste 100, 220 und 330, und er liefert 650 Ω.

Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und jeder führt seinen eigenen Strom: Es addieren sich die Ströme. Strom ist U/R, also addiert sich 1/R — die Leitwerte —, und der Gesamtwiderstand ist der Kehrwert dieser Summe: 1/Rp = 1/R1 + 1/R2 + … Der Parallelrechner liefert für dieselben drei Werte 56,90 Ω, und er gibt etwas mehr als eine Zahl: Trag eine Spannung ein, und er nennt auch Gesamtstrom, Gesamtleistung und den Strom durch jeden einzelnen Widerstand. Was er nicht nennt, ist die Leistung in jedem einzelnen Widerstand — die Zahl, die darüber entscheidet, ob die Schaltung überlebt. Darauf kommen wir zurück.

Eine Folge lohnt sich als Regel, denn sie ist die schnellste Plausibilitätsprüfung überhaupt: Eine Parallelschaltung ist immer kleiner als ihr kleinstes Glied. Sie muss es sein. Ein weiterer paralleler Widerstand fügt der Leitwertsumme einen weiteren positiven Term hinzu, was die Summe nur vergrößern und damit ihren Kehrwert nur verkleinern kann. Leg 1 MΩ parallel zu 1 Ω, und die Summe ist 0,999999 Ω — ein Millionstel weniger als das 1 Ω, aber weniger. Kommt ein Parallelergebnis je über dem kleinsten Wert deiner Liste heraus, ist es ein Rechen- oder ein Tippfehler, und das Zweite ist wahrscheinlicher.

Meist gehört die Antwort einem Glied

Verändere einen Widerstand eines Parallelpaars, und die Summe wandert — aber nicht für beide gleich weit. Die Empfindlichkeit der Summe gegenüber einem Glied ist Rp geteilt durch dessen Wert. In 100 ∥ 220 sind die Empfindlichkeiten 68,75/100 = 0,6875 und 68,75/220 = 0,3125, und sie ergeben genau eins — auch das kein Zufall: Ändere alles um denselben Faktor, und die Summe ändert sich um diesen Faktor, also müssen die Anteile der Änderung eins ergeben. Praktisch verschiebt ein Fehler von 1 % beim 100-Ω-Widerstand die Antwort um 0,69 %, ein Fehler von 1 % beim 220-Ω-Widerstand nur um 0,31 %. Zieh die Werte auseinander, und der Effekt wird brutal: In 100 ∥ 1000 gehören dem kleinen 90,9 % der Antwort, und du könntest dich beim 1 kΩ gründlich irren, ohne es zu merken.

Das Spiegelbild gilt in Reihe, und die Zahlen sind buchstäblich dasselbe Paar, vertauscht. In 100 + 220 ist die Empfindlichkeit der Summe gegenüber jedem Glied dieses Glied geteilt durch die Summe: 100/320 = 0,3125 und 220/320 = 0,6875. Dort gehört die Antwort dem großen Widerstand, was einleuchtet: In Reihe bestimmt der größte den Großteil der Summe, parallel der kleinste. Die saubere Merkregel: In jeder Anordnung zählt das Glied, das die meiste Arbeit leistet.

Toleranz: zwei 5-%-Bauteile parallel sind immer noch 5 %

Weit verbreitet ist der Glaube, das Zusammenschalten von Widerständen mittle deren Toleranz. Das tut es nicht, jedenfalls nicht im schlechtesten Fall. Rechne nach: 100 ∥ 220 ist nominell 68,75 Ω. Nimm beide Bauteile 5 % zu niedrig, und du erhältst 95 ∥ 209 = 65,3125 Ω, also genau 5 % zu niedrig. Nimm beide 5 % zu hoch, und du erhältst 105 ∥ 231 = 72,1875 Ω, genau 5 % zu hoch. Das ist keine Näherung, sondern eine Identität: Die Parallelschaltung ist homogen vom Grad eins, das heißt, alle Widerstände mit demselben Faktor zu skalieren skaliert das Ergebnis mit diesem Faktor. Liegen beide Bauteile am selben Rand ihres Toleranzbands, liegt es das Netzwerk auch. In Reihe gilt dasselbe, aus demselben Grund.

Was schrumpft, ist die statistische Streuung, und nur wenn die beiden Fehler wirklich unabhängig sind. Kombiniere die Empfindlichkeiten aus dem vorigen Abschnitt quadratisch — 5 % mal 0,6875 und 5 % mal 0,3125, Wurzel aus der Quadratsumme — und du erhältst 3,78 % für 100 ∥ 220. Bei zwei gleichen Widerständen liefert dieselbe Rechnung 3,54 %, den vertrauten Faktor eins durch Wurzel zwei. Beachte, dass dieser Wert für Reihe und Parallelschaltung identisch ist, weil die beiden Empfindlichkeitspaare dieselben Zahlen in getauschter Reihenfolge sind. Es ist eine echte Verringerung, aber eine Erwartung und keine Zusicherung — und auf der Zusicherung baut eine Spezifikation auf.

Genau an der Unabhängigkeitsannahme geht es auf dem Labortisch schief. Zwei vom selben Gurt abgerissene Widerstände stammen aus derselben Charge, von derselben Maschine, vom selben Tag: Ihre Fehler sind korreliert, nicht unabhängig — was dich zum schlechtesten Fall zurückschiebt, nicht zum statistischen. Sie teilen auch eine Temperatur: Erwärm die Platine, und beide driften in dieselbe Richtung, und eine Gleichtaktdrift ist die schlechteste Sorte für dieses Argument. Wenn du wirklich einen engeren Wert brauchst als deine Bauteile, ist die Lösung ein engeres Bauteil, nicht zwei lockere. Der einzige Fall, in dem Zusammenschalten wirklich hilft, ist der Abgleich: Ein großer Widerstand parallel zu einem viel kleineren drückt diesen um einen kontrollierten Betrag herunter, und weil die Empfindlichkeit gegenüber dem großen winzig ist, geht dessen eigener Fehler kaum ins Ergebnis ein.

Bei der Leistung verbrennt man sich wirklich

Beide Widerstände eines Parallelpaars sehen dieselbe Spannung, jeder setzt also U²/R um, und die Leistung geht mit eins durch den Widerstand. Der kleinere nimmt daher den größeren Anteil, und dieser Anteil ist derselbe Bruch wie zuvor: Rp geteilt durch diesen Widerstand. Leg 12 V an 100 ∥ 220, und die Summe beträgt 2,09 W, davon 1,44 W im 100-Ω-Widerstand — 68,8 % — und 0,65 W im 220-Ω-Widerstand. Zieh die Werte auf 100 ∥ 1000 auseinander, und der 100-Ω-Widerstand nimmt 90,9 % einer kleineren Summe. Das Glied also, um das du dir am wenigsten Sorgen gemacht hast, das den Widerstand kaum verschiebt, heizt auch kaum — und der kleine macht die ganze Arbeit.

Deshalb ist ein Viertelwatt-Bauteil häufiger die falsche Wahl, als man denkt. Ein 100-Ω-Widerstand für 0,25 W verträgt höchstens die Wurzel aus 0,25 mal 100, also 5 V an seinen Anschlüssen — und sobald dein Parallelpaar an 12 V hängt, verlangst du fast das Sechsfache seines Nennwerts. Das Parallelwerkzeug zeigt dir den Strom durch diesen Widerstand, 120 mA, und die Gesamtleistung des Netzwerks, aber es multipliziert beides nicht widerstandsweise aus: Auf dem Bildschirm steht das entscheidende Wort nirgends. Mach es von Hand: Für jedes Glied die Spannung quadrieren, durch dessen Widerstand teilen und mit Reserve gegen den Nennwert halten — die Hälfte des Nennwerts ist eine vernünftige Arbeitsobergrenze für alles, was halten soll.

In Reihe kehrt sich alles um, und das ist die nützliche Hälfte der Symmetrie. Derselbe Strom fließt durch beide: Jeder setzt I²R um, die Leistung geht also mit dem Widerstand, und der größte wird am heißesten. Führen 100 + 220 einen Strom von 50 mA, setzt der 100-Ω-Widerstand 0,25 W um und der 220-Ω-Widerstand 0,55 W — derselbe Anteil von 68,8 %, nur am anderen Widerstand. Die Merkregel: In jeder Anordnung ist das Glied mit der größten Leistung dasjenige, bei dem der Rechner dich am wenigsten warnt, weil du ihm am wenigsten Aufmerksamkeit schenkst.

Was die beiden Rechner annehmen und was nicht

Das Reihenwerkzeug nimmt ein einziges Textfeld mit Werten, getrennt durch Kommas, Semikolons oder Leerzeichen, und es ist streng darin, was als Zahl gilt. Tipp 100, 220, 330 — das klappt. Tipp 1k, 2k2 — es liefert null, denn keines der beiden Tokens lässt sich als Zahl lesen, und beide werden stillschweigend verworfen. Tipp 10 kΩ — es liefert 10 Ω, denn das Leerzeichen trennt die Eingabe in 10 und kΩ, das Zweite wird weggeworfen, und das Erste überlebt als nackte Zehn: ein stiller Faktor tausend, ohne jede Warnung. Dieselbe Falle erwischt das Leerzeichen als Tausendertrenner: 10 000 wird zu 10 und 0, und die Summe ist 10.

Das Parallelwerkzeug ist auf eine wohl schlimmere Weise nachsichtiger, denn es liest jedes Feld tolerant: Tipp 1k in ein Feld, und es liest 1; tipp 4k7, und es liest 4. Du bekommst eine Zahl statt einer Leerstelle, und die Zahl ist um drei Größenordnungen falsch, ohne jeden Hinweis. In beiden Werkzeugen ist die Abhilfe dieselbe und langweilig: Tipp glatte Ohm, nur Ziffern, mit Dezimalpunkt, wenn nötig. Schreib 4700, nicht 4k7.

Ein Verhalten gehört als physikalisch falsch markiert, nicht bloß als pedantisch. Die Parallelrechnung verwirft jeden Wert, der nicht strikt positiv ist: 0 neben 100 und 220 einzugeben ergibt 68,75 Ω — die Null wird ignoriert. Elektrisch ist ein Nullohm-Pfad parallel ein satter Kurzschluss, und der richtige Gesamtwert ist null Ohm, genau die Antwort, die man sehen möchte, wenn man gerade eine Brücke in seine Netzliste getippt hat. Die Absicherung soll eine Division durch null verhindern, und ihr Preis ist, dass die eine Eingabe, die schreien müsste, stumm zurückkommt. Das Reihenwerkzeug hat die umgekehrte Lücke: Es filtert gar nicht, ein negativer Wert wird also unverändert aufaddiert, und 100 und −50 ergeben im Parallelwerkzeug 150 Ω, im Reihenwerkzeug aber 50 Ω.

Häufige Fragen

Warum liegt der Parallelwert immer unter dem kleinsten Widerstand?

Weil du Pfade hinzufügst, keine Hindernisse. Den Strom, den der kleinste Widerstand schon durchließ, lässt er weiterhin durch, wenn du einen zweiten danebensetzt — und der neue steuert eigenen Strom bei. Mehr Gesamtstrom bei gleicher Spannung heißt per Definition weniger Widerstand. Die Algebra sagt dasselbe: Die Kehrwerte addieren sich, die Summe der Leitwerte ist also strikt größer als der größte einzelne Leitwert, und der Kehrwert einer größeren Zahl ist eine kleinere Zahl. Ein nützlicher Nebensatz fürs Kopfrechnen: Ein sehr großer Widerstand parallel ändert kaum etwas — 1 MΩ an 1 Ω ergibt 0,999999 Ω. Ist ein Glied hundertmal so groß wie das andere, kannst du das große meist auf ein Prozent genau ignorieren.

Kann ich zwei Widerstände parallel schalten, um einen fehlenden Wert zu bekommen?

Ja, und es ist eine legitime Technik mit drei Kosten. Die erste ist die Toleranz: Wie dieser Artikel zeigte, verengt das Zusammenschalten den schlechtesten Fall nicht — brauchtest du einen präzisen Wert, brauchst du weiterhin ein präzises Bauteil. Die zweite ist die Leistung, denn die beiden Glieder teilen sie nicht gleichmäßig, und das kleinere nimmt den größeren Anteil: Bemiss es nach dem, was es wirklich bekommt, nicht nach der Hälfte der Summe. Die dritte: Du hast die Zahl der Lötstellen und ausfallgefährdeten Bauteile verdoppelt, auf einer Platine, deren ganzer Zweck war, ein Teil nicht bestellen zu müssen. Wirklich verdient hat sich die Technik beim leichten Abwärtsabgleich eines Normwerts: Ein großer Widerstand parallel zum nächstgelegenen Vorzugswert verschiebt diesen um einen kleinen, kontrollierten Betrag, und weil die Empfindlichkeit gegenüber dem großen gering ist, spielt dessen eigene Toleranz kaum eine Rolle.

Ergeben zwei 0,25-W-Widerstände parallel einen 0,5-W-Widerstand?

Nur wenn sie gleich sind. Zwei identische Widerstände parallel teilen die Leistung tatsächlich gleichmäßig, ein Paar 0,25-W-Bauteile desselben Werts verträgt also zusammen 0,5 W — ein echter, üblicher Kniff, der zugleich den Widerstand halbiert, was oft der wahre Grund dafür ist. Zwei verschiedene Werte teilen überhaupt nicht gleichmäßig. In 100 ∥ 220 nimmt das kleinere Bauteil 68,8 % der Summe, ein Viertelwatt-Paar versagt also, wenn das Netzwerk rund 0,36 W führt, nicht 0,5 W, weil der 100-Ω-Widerstand zuerst an seine Grenze stößt. Prüfe immer das am stärksten belastete Glied statt der Summe: Spannung am Paar quadrieren, durch den kleinsten Widerstand teilen — das ist die Zahl, die das kleinste Bauteil überstehen muss.

Warum zeigt das Parallelwerkzeug Ströme, aber keine Leistungen?

Es zeigt Gesamtwiderstand, Gesamtstrom und Gesamtleistung sowie eine Aufschlüsselung des Stroms in jedem einzelnen Widerstand — aber die Leistung je Widerstand steht nicht auf dem Bildschirm, und genau sie entscheidet, ob ein Bauteil überlebt. Du holst sie in einem Schritt aus dem Angezeigten: Multipliziere den Strom jedes Widerstands mit der eingegebenen Spannung. Im Dreier-Standardfall bei 12 V betragen die Ströme 120 mA, 55 mA und 36 mA, die Leistungen also 1,44 W, 0,65 W und 0,44 W. Beachte, dass die erste schon das Sechsfache eines Viertelwatt-Nennwerts ist. Wenn du eine Gewohnheit aus diesem Artikel mitnimmst, dann diese Multiplikation — sie dauert eine Sekunde, nutzt nur Zahlen, die das Werkzeug dir schon gegeben hat, und ist die Prüfung, die einen Widerstand davor bewahrt, braun zu werden.

Wie soll ich Werte wie 4k7 oder 10 kΩ eingeben?

Gar nicht so. Tipp die glatte Ohmzahl: 4700 für 4k7, 10000 für 10 kΩ, 0,22 für 220 mΩ. Keines der beiden Werkzeuge versteht die Ingenieurschreibweise, und keines sagt es dir. Der Reihenrechner verwirft jedes Token, das er nicht als Zahl lesen kann; 1k, 2k2 kommt also als Summe null zurück, und 10 kΩ kommt als zehn Ohm zurück, weil das Leerzeichen trennt und die Buchstaben verworfen werden. Die feldweise Auswertung des Parallelrechners ist nachsichtiger und darum gefährlicher: Sie liest die führenden Ziffern und hört auf, aus 1k wird also 1 und aus 4k7 wird 4. In beiden Fällen scheitert es lautlos, und der Fehler beträgt Faktor tausend — genau die Sorte Fehler, die eine Entwurfsprüfung übersteht, weil die Zahl auf dem Bildschirm wie eine Zahl aussieht.