Drei Maler brauchen zwölf Tage; fünf brauchen nicht zwanzig

Manche Beziehungen sind weder noch

Der Dreisatz verlangt, dass beide Größen durch eine einzige Multiplikation verbunden sind, und alles, was in mehr als einer Dimension skaliert, ist das nicht. Ein Kuchen von 20 cm für acht Personen heißt nicht, dass einer von 30 cm zwölf versorgt: Die Fläche wächst mit dem Quadrat des Durchmessers, das Verhältnis ist also (30 ÷ 20)² = 2,25 und die Antwort achtzehn. Dieselbe Falle lauert bei der Farbe für eine größere Wand anderer Proportionen, beim Draht einer breiteren Spule und beim Stoff eines vergrößerten Schnitts. Frage vor dem Kreuzrechnen, ob eine Verdopplung der Eingabe die Ausgabe wirklich verdoppelt — vervierfacht sie sie, liegt der Dreisatz um den Faktor zwei daneben.

Auch die direkte Fassung hat eine Decke

Proportionalität ist eine Annahme über einen Bereich, kein Gesetz. Kabel zu 4 je Meter kostet 20 für fünf Meter und wohl kaum 20.000 für fünftausend, denn bei dieser Menge wird der Preis verhandelt; eine Arbeit, die fünf Maler in 7,2 Tagen schaffen, ist mit zweiundsiebzig Malern nicht in einem halben Tag fertig, weil sie nicht alle an die Wand kommen. Jede proportionale Antwort trägt einen ungeschriebenen Gültigkeitsbereich, und die Brüche liegen an den Rändern — bei sehr kleinen Mengen, wo eine Fixkomponente dominiert, und bei sehr großen, wo etwas Physisches oder Kommerzielles nicht mehr mitskaliert.

Häufige Fragen

Wie unterscheide ich schnell direkt von umgekehrt?

Frage, was konstant bleibt. Bei einer direkten Beziehung ist es das Verhältnis: 4 je Meter bleibt 4 je Meter, wie viel Kabel man auch kauft. Bei einer umgekehrten ist es das Produkt: Maler × Tage bleibt 36, wie viele Maler auch erscheinen. Die Konstante zu benennen dauert eine Sekunde und klärt die Frage jedes Mal — und sagt zugleich, was zu notieren ist: Sechsunddreißig Malertage sind eine Tatsache über die Arbeit, die jeden Personalwechsel überdauert, während „zwölf Tage“ nur eine Tatsache über eine bestimmte Mannschaft ist.

Warum ergibt die Antwort 7,2 Tage?

Weil die Arithmetik stetig ist und der Kalender nicht. Sieben Komma zwei Tage sind sieben volle Tage plus ein Fünftel eines weiteren, praktisch also acht Arbeitstage — und auf sieben abzurunden ließe das letzte Fünftel der Arbeit liegen. Jede Menge, die in ganzen Einheiten gekauft, gebucht oder besetzt wird, gehört nach dem proportionalen Schritt aufgerundet, und der weggerundete Bruchteil bleibt besser im Blick: Auf einer langen Baustelle sind ein Fünftel Tag pro Woche ein Tag im Monat.