Eine Kreuzmultiplikation hinter sechs verschiedenen Aufgaben

Die Einheiten entscheiden, welche Anordnung zulässig ist

Vier Zahlen lassen sich auf mehrere Weisen zu einer Proportion ordnen, und nur einige davon bedeuten etwas. Äpfel durch Preis gleich Äpfel durch Preis ist zulässig; Äpfel durch Preis gleich Preis durch Äpfel sind vier Zahlen in der richtigen Form und der falschen Reihenfolge und liefern einen Wert ohne Deutung. Die Sicherung besteht darin, vor dem Lösen die Einheiten neben jeden Wert zu schreiben und zu prüfen, dass dieselbe Einheit auf beiden Seiten dieselbe Stelle einnimmt. Einmal getan, erzwingt sich die Anordnung von selbst — und das nimmt das Raten heraus, das solche Aufgaben schwerer wirken lässt, als sie sind.

Ein Kartenmaßstab ist ein Verhältnis ohne Einheiten

1:25.000 heißt, dass eines von irgendetwas auf dem Papier fünfundzwanzigtausend desselben im Gelände sind — deshalb trägt die Schreibweise keine Einheit und funktioniert in Zentimetern, Zoll oder Millimetern gleich. Vier Zentimeter werden zu 100.000 Zentimetern, und daraus Kilometer zu machen ist eine zweite, eigene Umrechnung: durch 100 für Meter und noch einmal durch 1.000 für Kilometer. Die beiden Schritte zu trennen verhindert den klassischen Fehler, in einem Zug durch 100.000 zu teilen — das ergibt eine hundertfach zu kleine Antwort und wirkt auf einer Wanderkarte plausibel.

Häufige Fragen

Warum funktioniert die Kreuzmultiplikation?

Es ist ein Schritt gewöhnlicher Algebra mit einem Namen. Geh von a ÷ b = c ÷ x aus, multipliziere beide Seiten mit b und dann mit x — ein Vorgang, der nichts ändert, weil beide Seiten gleich behandelt werden — und die Brüche verschwinden, es bleibt a × x = b × c. Die anschließende Division durch a isoliert x. Nichts wird gekreuzt und keine Sonderregel greift; die diagonalen Pfeile sind eine Merkhilfe für zwei stets erlaubte Multiplikationen.

Darf in einer Proportion eine Null vorkommen?

Im Nenner nie — ein Verhältnis mit Null darunter ist undefiniert, und jeder Rechner, der dort einen Wert liefert, verbirgt eine Division durch null. Im Zähler ist sie zulässig, im modellierten Problem aber meist sinnlos: null Äpfel für fünf Geldeinheiten sagt, dass der Preis undefiniert ist, nicht dass er null wäre, denn es wurde nichts gekauft. Wo eine Null berechtigt auftreten kann, ist die Proportion das falsche Modell und eine lineare Gleichung mit Achsenabschnitt das richtige — denn proportionale Beziehungen sind genau jene, die durch den Ursprung gehen.