Geometrisches vs arithmetisches Mittel: was nutzen

Wie jedes Mittel berechnet wird

Das arithmetische Mittel von n Zahlen ist ihre Summe geteilt durch n. Für 4, 9 und 17 ist es (4 + 9 + 17) / 3 = 10. Das geometrische Mittel multipliziert die n Zahlen und zieht die n-te Wurzel: für 4, 9 und 17 ist es die Kubikwurzel von 4 x 9 x 17 = Kubikwurzel von 612, etwa 8,49. Beide stimmen nur überein, wenn alle Werte gleich sind.

Das geometrische Mittel ist bei positiven Zahlen stets kleiner oder gleich dem arithmetischen. Je größer die Streuung, desto größer der Abstand. Das ist eine bekannte Ungleichung und ein schneller Test: Ist dein geometrisches Mittel größer als das arithmetische, liegt ein Rechenfehler vor.

Warum Wachstumsraten das geometrische Mittel brauchen

Angenommen, eine Anlage steigt ein Jahr um 50 % und fällt im nächsten um 50 %. Das arithmetische Mittel von +50 % und -50 % ist 0 %, was auf ein Nullergebnis hindeutet. Doch 100 wird 150, dann 75 — ein echter Verlust. Das geometrische Mittel der Faktoren 1,5 und 0,5 ist die Quadratwurzel von 0,75, etwa 0,866, also rund -13,4 % pro Jahr, was zum realen Ergebnis passt.

Eine einfache Faustregel

Nutze das arithmetische Mittel, wenn sich die Werte sinnvoll addieren — Noten, Größen, Temperaturen. Nutze das geometrische, wenn sie sich multiplizieren oder zusammensetzen — Jahresrenditen, Bevölkerungswachstum, Indexverhältnisse, Skalierungsfaktoren. Bei Änderungsprozenten oder Verhältnissen wählst du das geometrische.

Häufige Fragen

Kann das geometrische Mittel negative Zahlen verarbeiten?

Nicht direkt — ein Produkt mit Negativen kann negativ werden oder die Wurzel undefiniert lassen. Deshalb drückt man Wachstum als Faktoren aus (1,05 für +5 %) statt als rohe Prozente, damit alle Werte positiv bleiben.

Ist das geometrische Mittel dasselbe wie der Median?

Nein. Der Median ist der mittlere Wert sortierter Daten; das geometrische Mittel ist ein Produkt mit Wurzel. Bei glatten Daten liegen sie nah beieinander, messen aber Verschiedenes.

Warum ist das geometrische Mittel niedriger als das arithmetische?

Multiplizieren reagiert empfindlicher auf kleine Werte als Addieren, daher zieht ein niedriger Wert das geometrische Mittel stärker nach unten. Gleich sind sie nur bei identischen Werten; jede Streuung senkt das geometrische.

Welches Mittel nutzen Aktienindizes?

Zur Zusammenfassung mehrjähriger Renditen liefert das geometrische Mittel die wahre durchschnittliche Wachstumsrate. Auch manche Preisindizes nutzen es, gerade weil es Verhältnisse wahrt und die Überschätzung des arithmetischen vermeidet.